Лекция 3 Основные логические функции

Обозначим через B = {0, 1} – множество, состоящее из двух чисел. Числа0и1являются основными в дискретной математике. Часто они интерпретируются как “ложь” (л ={0}) и как “истина” (и ={1}).

Декартово произведение B * B * B * …*B= Bⁿявляется множеством упорядоченных наборов, состоящих изп чисел (нулей и единиц).

B^пcодержит 2^пэлементов (упорядоченных наборов). Само множествоB^пможно естественным образом упорядочить, для чего достаточно считать каждый набор двоичным разложением целого числаk(0k 2ⁿ–1), записанного с помощьюп знаков. Упорядочение наборов проводится по числуk.

Например, при п= 3 множествоB³ может быть упорядочено следующим образом.

0	000
1	001
2	010
3	011
4	100
5	101
6	110
7	111

Такое упорядочение еще называют “скользящей единицей”.

Этот естественный порядок элементов B^пявляется самым распространенным

• ОпределениеЛогической (булевой) функцией(или просто функцией) n переменных y = f(x1, x2, …, xn) называется такая функция, у которой все переменные и сама функция могут принимать только два значения: 0 и 1.

Переменные, которые могут принимать только два значения 0и1называютсялогическимипеременными (или просто переменными).

• ЗамечаниеЛогическая переменнаях может подразумевать под числом0некоторое высказывание, которое ложно, и под числом1высказывание, которое истинно. Например, высказывание “Волга впадает в Каспийское море” является истинным и, значит, с точки зрения дискретной математики принимает значение1, а высказывание “в неделе 8 дней” является ложным, и переменная, которая заменяет это высказывание, принимает значение0.

Имеется много высказываний, которые либо истинны, либо ложны, но о которых мы не знаем, что имеет место на самом деле. Например, высказывание “студент Петров (имеется в виду конкретный человек) имеет дома компьютер”. Такого рода высказывания требуют проверки (конечно, если нам важен этот факт). Поэтому считаем, что переменная, заменяющая это высказывание может принимать значение 0или1.

При таком задании наборы Е^п всегда упорядочены естественным образом, это позволяет определять функцию только последним столбцом (который иногда для экономии места записывается в строчку).

Заметим, что все функции п переменных также можно перенумеровать по принципу “скользящей единицы”. Теоретически число таких функций – 2²ⁿно некоторые из них являются по существу функциями меньшего числа переменных, а две – вообще константами. Если фактически функция не зависит от некоторой переменной, то такую переменную называютфиктивной.

Теперь можно описать основные функции дискретной математики

• Определение Булевой функциейотnаргументов называется функцияfизn-ой степени множества { 0, 1 } в множество { 0, 1 }. или булева функция – это функция, и аргументы и значение которой принадлежит множеству { 0, 1 }. Множество { 0, 1 } мы будем в дальнейшем обозначать черезB.

При этом алгебра<B;>, где– множество всевозможных булевых функций, называетсяалгеброй логики.

Конечность области определения функции имеет важное преимущество – такие функции можно задавать перечислением значений при различных значениях аргументов. Для того, чтобы задать значение функции от nпеременных, надо определить значения для каждого из 2ⁿнаборов. Эти значения записывают в таблицу в порядке соответствующих двоичных чисел. В результате получается таблица следующего вида:

x1	x2	...	xn-1	xn	f
0	0	...	0	0	f(0,0,...,0,0)
0	0	...	0	1	f(0,0,...,0,1)
0	0	...	1	0	f(0,0,...,1,0)
0	0	...	1	1	f(0,0,...,1,1)
...	...	...	...	...	...
1	1	...	0	0	f(1,1,...,0,0)
1	1	...	0	1	f(1,1,...,0,1)
1	1	...	1	0	f(1,1,...,1,0)
1	1	...	1	1	f(1,1,...,1,1)

Для того, чтобы задать функцию, достаточно выписать значенияf(0,0,...,0,0), f(0,0,...,0,1), f(0,0,...,1,0), f(0,0,...,1,1),...,f(1,1,...,0,0), f(1,1,...,0,1), f(1,1,...,1,0), f(1,1,...,1,1). Этот набор называютвектором значений функции.

Таким образом, различных функций nпеременных столько, сколько различных двоичных наборов длины 2^n*. ( 2 в степени 2ⁿ)

P₂(n)=.

МножествоBсодержит два элемента – их можно рассматривать как булевы функции от нуля (пустого множества) переменных –константу 0иконстанту 1.

Булева функция может быть задана:

1. словесным описанием (назначением, определением),

2. таблицей истинности,

3. формулой, состоящей из букв, знаков логических операций и скобок,

4. комбинационной схемой, составленной из логических элементов,

5. координатным способом (картой Карно),

6. переключательной схемой,

7. диаграммой Венна,

8. геометрическим способом (гиперкубами),

9. диаграммой двоичного решения и т.д.