Сравнение множеств по числу элементов

Пусть даны множества: А={a, b, c}, B={}, С={1,2,3,4}.В каком множестве больше элементов? На этот вопрос ответят все.

Даны два множества N={1, 2, 3, 4, …} и D={2, 4, 6, 8,…}.В каком множестве больше элементов? И на сам собой напрашивающийся ответ: “конечно, их больше в N. Больше в 2 раза” можно спросить: “А как Вы это узнали? Неужели сосчитали? Но ведь в этих множествахбесконечное число элементов, так что сосчитать Вы никак не могли”.

Или: даны 2 отрезка: На каком отрезке больше точек? И так же ответ “Конечно, на CD, ведь он длиннее”, так же возразить “Неужели Вы сосчитали точки?”

Поэтому встает проблема сравнения двух множеств по числу элементов не считая их. И это можно сделать, например, так (см. самый первый пример).

A	a	b	c		A	a	b	c
B					C	1	2	3	4

В первом случае ясно, что во множествах А и В одинаковоечисло элементов, а во втором, что в Сбольшеэлементов. Заметьте, что в этом случае нет необходимости считать элементы, ответ получается без счета.

• Определение Правило, которое каждому элементу множества А ставит в соответствие элемент множества В, причем так, что каждому элементу множества В оказывается поставленным в соответствие один и только один элемент множества А называется взаимно-однозначным соответствием между множествами А и В.

Между множествами А={a, b, c} и B={}было установлено взаимно-однозначное соответствие (), а между множествами А и С –нет.

• Определение Если между множествами А и В можно установить взаимно-однозначное соответствие, то говорят, что эти множества эквивалентны по числу элементов (или: “имеют одинаковое число элементов”; или “имеют одинаковую мощность.

Рассмотрим множества N и D. Ясно, что между ними можно установить взаимно-однозначное соответствие.

N	1	2	3	4	…	n	…
D	2	4	6	8	…	2n	…

И поэтому, в этих множествах одинаковое число элементов.

• Замечание Четных чисел столько же, сколько и всех натуральных!

Вотношении двух отрезков вопрос также решается очень просто. Проделав построение, указанное на рисунке, получим, что между точками отрезков АВ и CD установлено взаимно-однозначное соответствие. Таким образом,на этих двух отрезках одинаковое число точек (несмотря на то, что отрезок CD длиннее отрезка АВ). В чем же была ошибка? Она была в том, что набесконечныемножества были перенесены свойстваконечныхмножеств.

Операции над множествами

1.Объединениеммножеств А и В называется множество, состоящее из элементов, принадлежащихА или В.

C=А В, если означает, что или

Объединение множеств обозначается символами "+" и "∪"

• Пример

А={-6, -3, 0, 3, 6},B={0,2, 4, 6, 8}. ТогдаA∪B= {-6, -3, 0, 2, 3, 4, 6, 8}.

Свойства операции объединения

1. A∪B=B∪A(коммутативность);

2. (А∪B)∪C=А(B∪C) (ассоциативность);

3. Если A⊇B, тоА∪В=А;

4. =А объединениеАи пустого множества равноА.

2.Пересечениеммножеств А и В называется множество, состоящее из элементов, принадлежащихА и ВС= АВ, если означает, что и

• Определение Если множестваАиВ не имеют общих элементов, их пересечение равно пустому множеству; в этом случае множестваАиВназываютсянепересекающимися А∩В=

Пересечение множеств обозначается символами "∩" и "·" (знак умножения):

С=А∩ВилиС=АВ.

Свойства операции пересечения множеств.

1. A∩B=B∩A(коммутативность);

2. (A∩В)∩С=А∩(В∩С) (ассоциативность);

3. Если A⊇B, тоА∩B=В;

4. А∩=.

Законыдистрибутивности:

A∪(B∩C) = (A∪B)∩(A∪C);

A∩(B∪C) = (A∩B)∪(A∩C);.

3.Разностьюмножеств называется множество, состоящее из элементов, принадлежащих А, но не принадлежащих В

С= А\В, если означает, что и

• Замечание

_{Свойства разности}

_{1. А\=А}

_{2. \А=}

_{3. А\А=}

4. Множество =(А\В)(В\А) называетсясимметрической разностьюмножеств А и В иликольцевой суммой.

Обозначается (А/В)(В\А)=АВ

Свойства симметричной разности

1.

2. =А

3. U=

3.

Дополнение множестваДополнением множества А до( I ) будет множество, состоящее из элементов, не принадлежащих А и обозначается (х, если хА)

• Теорема. Дополнение к объединению некоторых множеств равно пересечению их дополнений , дополнение к пересечению множеств равно объединению их дополнений

A\(B∪C) = (A\B)∩(A\C);

A\(B∩C) = (A\B)∪(A\C).

• Определение Множества А и В находятся вобщем положении, если

, ,,,,