Диаграммы Эйлера-Венна

Геометрически множества обычно изображаются как некоторые подмножества точек плоскости, множества представляются в виде кругов, в которых заключены все элементы данного множества. В любой имеющей смысл задаче обычно рассматриваются подмножества некоторого "наибольшего" множества U, которое называютуниверсальным множеством. Универсум обозначается квадратом.

Так, на рис. 1 изображено универсальное множествоU и два его подмножества - множестваАиВ,B⊂A. Картинки типа рис. 1 называютсядиаграммами Эйлера-Венна

• Определение

Универсальныммножеством называется такое множество, для которого любое данное множество является подмножеством.

• Определение Если элементами множества являются числа, то множество называетсячисловым.

• Определение

Непустое множество Аназываетсяконечным, если можно указать такое фиксированное число nN, что количество элементов множестваАменьшеn. Множество не являющееся ни пустым, ни конечным называетсябесконечным.

• Пример

Известные числовые множества: N= { 1, 2, 3, …} - множество натуральных чисел;

N_o={0; 1; 2; 3;...}- множество целых неотрицательных чисел (N_o),

Z = { ,-4, -3 -2,- 1, 0, 1, 2, 3, ….} - множество целых чисел;

Q = - множество рациональных чисел.

, где - целые неотрицательные числа;- целые положительные числа (натуральные);

R - множество вещественных чисел.

- действительные положительные числа и др.

Кругами Эйлера можно проиллюстрировать включение стандартных числовых множеств

N

N₀

Z

Q

R

Сравнение множеств

Определение. Если каждый элемент множестваВявляется также элементом множестваА, множествоВназываетсяподмножествоммножестваА(обозначение -B⊆AилиA⊇B).

Согласно этому определению, каждое множество является своим подмножеством (это самое "широкое" подмножество множества).

Пустое множество является подмножеством любого множества (это самое "узкое" подмножество).

Любое другое подмножество множества А содержит хотя бы один элемент множества А, но не все его элементы. Такие подмножества называютсяистинными,илисобственными подмножествами. Для истинных подмножеств множестваА применяется обозначениеB⊂AилиA⊃B.. (Символы∈,∋,⊂,⊃,⊆,⊇называются символами включения).

• Примеры:

Множество квадратов является подмножеством множества четырехугольников, множество воробьев является подмножеством множества птиц.

Пример, если А –множество четных натуральных. чисел, а В – множество четных натуральных чисел, оканчивающихся на 4, то В – подмножество А, ВА или А В.

Число элементов множества. Число подмножеств. данного множества

Обозначим. n(А) число элементов в множестве. А

Множество А	n(A)	Подмножества	Число подмножеств
	0		1
	1	,	2
	2	,	4
	3	,	8

Добавление нового элемента удваивает число подмножеств.

• Определение Множество всех подмножеств называется булеан

• ПримерА=_, то Р(А)= _,

• _{Теорема Если А состоит из} элементов, тоР(А) состоит из -элементов.

• Определение Мощность конечного множества – число его элементов.

Обозначается

• Пример А=_,то=4

1.Вхождение или включение множеств.

Говорят, что множество А входитв множество В (обозначение АВ) или множество Ввключаетмножество А (обозначение ВА), если из того, что некоторый элемент aA следует, что aВ.

• ОпределениеМножества А и Всовпадают, илиравныдруг другу (обозначение А=В), если они состоят из одинаковых элементов

• Пример. ПустьА,В,С- подмножества множестваN:

А={1, 2, 6, 18};В={6, 1, 18};С={2, 18, 6, 1} В этом случаеА=С;C⊆AиA⊆C,B⊂A..

• Пример

Свойства включения

1. - рефлексивность

2. если , то- транзитивность.

3. если , то- антисимметрия.

• Замечание

Пустое множество – подмножество любого множества. _.