Курс лекций Дискретная математика

Автор доцент

Старожилова О.В.

Оглавление

Оглавление 2

Лекция 1 Элементы теории множеств 3

Диаграммы Эйлера-Венна 5

Операции над множествами 10

Лекция 2 Отношение. Способы задания отношений 13

Декартово произведение множеств 15

Функциональное отношение 18

БИНАРНЫЕ ОТНОШЕНИЯ 21

Лекция 3 Основные логические функции 24

Существенные и фиктивные переменные 27

Функции одной переменной 27

Функции двух переменных 28

Законы и теоремы булевой алгебры 36

Лекция 4 Минимизация логических функций 38

Карты Карно 40

Правила минимизации с использованием карт Карно 42

Лекция 5 Замкнутые классы функций 49

Класс 50

Класс 50

Класс 51

Класс 51

Класс 52

Критерий полноты 53

Лекция 6 Графы. Основные термины и понятия 58

Матрица инцидентности и матрица смежности 61

Лекция 7Плоские Графы 64

Лекция 8 Расстояния в графе 69

Алгоритм фронта волны 70

Лекция 1 Элементы теории множеств

Создатель теории множеств Георг Кантор говорил, что

Множество есть многое, мыслимое нами как единое.

В отличие от других объектов, изучаемых математикой, термин "множество" не имеет строгого определения.

Наиболее простая структура данных, используемая в математике, имеет место в случае, когда между отдельными изолированными данными отсутствуют какие-либо взаимосвязи. Совокупность таких данных представляет собой множество. Множество не обладает внутренней структурой. Множество можно представить себе как совокупность элементов, обладающих некоторым общим свойством.

Для того чтобы некоторую совокупность элементов можно было назвать множеством, необходимо, чтобы выполнялись следующие условия:

1. Должно существовать правило, позволяющее определить, принадлежит ли указанный элемент данной совокупности.

2. Должно существовать правило, позволяющее отличать элементы друг от друга.

(Это, в частности, означает, что множество не может содержать двуходинаковыхэлементов).

Множества обычно обозначаются заглавными латинскими буквами, например, A, B, C и т.д.. Если элемент принадлежит множеству, то это обозначается:

Если каждый элемент множества является также и элементом множества, то говорят, что множествоявляетсяподмножествоммножества:

Знаком будет обозначаться так называемоепустое множество,т.е. такое множество, в котором нет ни одного элемента.

Универсальное (единичное) множество

УниверсальнымIназывается множество, в которое входят все, рассматриваемые множества. Например, если мы говорим о воробьях и синицах, то универсальным множеством будет множество птиц.

Задание множеств

Чтобы задать множество, нужно указать какие элементы ему принадлежат.

Задаются множества различными способами.

• Пример

«Студенты Петров, Иванов, Сидоров могут сдавать экзамен» - множество задается списком

«Студенты Петров, Иванов, Сидоров, успешно сдавшие зачеты, могут сдавать экзамен» - множество задается при помощи общего признака.

Описание, включает основной, характеристический признак множества

При задании множества описанием возможны трудности:

а) два разных описания могут задавать одно и то же множество;

б) неоднозначность, например, множество всех деревьев на Земле. А включать ли в него уже спиленные деревья?

А)Наиболее простая форма задания множества -перечисление его элементов

• Пример

А={2, 6, 15} (множествоАсостоит из трёх элементов - целых чисел 2, 6, 15).

Но не все множества можно задать списком.

Множество чисел, оканчивающихся на 5 бесконечно

Б)Другая часто применяемая форма задания –характеристическим предикатом(указание свойств элементов множества).

• Определение Характеристический предикат- условие, выраженное в форме логического утверждения и позволяющее проверить, принадлежит ли любой данный элемент множеству

• Пример

A= {x|x²≤ 4} - множество чиселх, удовлетворяющих указанному условиюx²≤ 4.

Если элементы данного множества Х обладают некоторым свойством, а другие элементы этим свойством не обладают, то такое свойство называют характеристическим.

• ПримерА={2; 4; 6; 8}, то элементами этого множества являются числа 2, 4, 6, 8, а их характеристическим свойством то, что они натуральные, однозначные и четные числа.

В общем случае можно записать А={х | ...}, где после вертикальной черты указывается свойство элементов данного множества.

В) третий способ – порождающей процедурой

• Определение Порождающая процедура – процедура, которая порождает объекты, являющиеся элементами определяемого множества.A= {x|x=функция}

  • ЗамечаниеПеречислением можно задать только конечные множества, а бесконечные задаются характеристическим предикатом или порождающей процедурой.

Множества обычно обозначаются большими буквами А,В,С,…, а их элементы - малыми:а,в,с… Записьа∈А(читается:апринадлежитА) илиA∋a(читается:Асодержита) означает, чтоаесть элемент множестваА. ЗаписиаА,,(ане принадлежитА) означает, чтоане является элементом множестваА.