chisl_meth / Лаб 4-1 Нелинейные уравнения / Методы решения нелинейных уравнений

Метод деления отрезка пополам

Имеем отрезок на котором расположено искомое значение корня нелинейного уравнения вида , т. е. За начальное приближение корня принимаем середину этого отрезка: После чего исследуем значения функции на концах отрезков и , т. е. в точках a, b. Для дальнейших вычислений выбираем тот отрезок, на концах которого функция принимает значения разных знаков. Отрезок будет содержать корень, поэтому его принимаем в качестве нового отрезка В качестве первого приближения корня принимаем середину нового отрезка и т. д. Тогда, k-е приближение можно вычислить как

.

Итерационный процесс производится до тех пор, пока не выполняется условие:

,

где – заданная точность.

Метод хорд

В данном методе процесс итераций состоит в том, что в качестве приближений корню уравнения принимаются значения … точек пересечения хорды с осью абсцисс. Пусть нашли отрезок на котором функция меняет знак. Через точки и можно провести прямую.

Для точки пересечения ее с осью абсцисс получим уравнение, которое соответствует нулевому приближению

Устанавливаем на каком из отрезков или функция меняет свой знак. Считаем его за новый интервал и ищем новое приближение и т. д.

Уравнение прямой, проходящей через две точки и :

Метод Ньютона

В отличие от метода хорд в данном методе на k-й итерации вместо хорды проводится касательная к кривой при и ищется точка пересечения касательной с осью абсцисс. При этом не обязательно задавать отрезок содержащий корень уравнения , а достаточно лишь найти некоторое начальное приближение корня .

Используя уравнение касательной, проведенной к кривой в точке с абсциссой , можно записать

Отсюда найдем следующее приближение корня как абсциссу точки пересечения касательной с осью x :

Аналогично могут быть найдены и следующие приближения как точки пересечения с осью x касательных, проведенных в точках с абсциссами … Формула для k-го приближения имеет вид

Уравнение касательной в точке с абсциссой

Метод простой итерации

Исходное нелинейное уравнение перепишем в виде

. (1)

Пусть известно начальное приближение корня . Подставляя это значение в правую часть уравнения (1), получаем новое приближение

Подставляя каждый раз новое значение корня в (1), получаем последовательность значений

Итерационный процесс прекращается, если результаты двух последовательных итераций близки, т. е. если выполнено неравенство .

Мы рассмотрели метод простой итерации для уравнения (1), но его можно обобщить и на уравнение , записанное в общем виде:

, ,

Здесь – некоторое число, выбирая которое можно добиться сходимости метода простой итерации и повышения скорости сходимости. Его можно выбирать и переменным, зависящим от номера итерации. Так, если положить то метод простой итерации примет вид