1 семестр / Физика - 2 / Физика лекции 3

.

Уравнение Шредингера – основное уравнение в квантовой физике. Оно записывается на основании анализа экспериментальных данных.

Запишем временное (общее) уравнение Шредингера

U – потенциальная энергия частицы, i – мнимая единица (i2=-1),

ψ(x, y, z,t) - функция состояния.

Решая это уравнение, находят вид ψ - функции. Рассмотрим движение свободной

частицы вдоль оси ОХ. Полная энергия частицы складывается из кинетической и потенциальной энергии.

2m

Если частица движется вдоль оси х, то ее поведение можно представить волной де Бройля.

−i (Et−px)

ψ(x,t) = Ae =

Здесь E= = ω, =p = kx

Выразим Е и р из уравнения волны де Бройля

Мы получили уравнение Шредингера для частицы, движущейся вдоль оси х. Если частица не свободная, а движется в силовом поле, то E = T +U T = E −U

T = p2 = E −U

2m

Если силовое поле, в котором движется частица, не изменяется во времени, то такое состояние называется стационарным. Для стационарных состояний ψ -ию можно

представить:

−i Et

ψ(x, y, z,t) =ψ(x, y, z) e =

.

Подставим ψ(x, y, z,t) во временное уравнение Шредингера:

−=2 2ψ +u ψ =ψ E

2m

−=2 2ψ + (U − E) ψ = 0 2m

Из множества решений ψ(x, y, z) выбираем только такие, которые являются непрерывными, однозначными, конечными, нормированными

∫ψ 2 dV =1

v

ψ 2 = dWdV

Лекция № 6

4. Движение свободной частицы

Рассмотрим движение свободной частицы вдоль оси ОХ

E = T +U

T = p2 , U=0 2m

Запишем уравнение Шредингера для стационарных состояний:

ψ(x) = A eikx x

Вероятность обнаружения частицы определяет |ψ |2

|ψ |2 =ψ ψ * = Ae−ikx x = A2

Вероятность нахождения частицы не зависит от х, т.е. всюду одинаковая.

.

|ψ |2

A2

х

ψ(x,t) = Aeikx x e−=i Et = Ae−=i (Et−px x)

5. Частица в одномерной потенциальной яме

Брусок металла

Электроны в металле находятся как – бы в потенциальной яме

U

Пусть а- толщина бруска Найдем собственные функции и собственные значения энергии электрона внутри металла.

Запишем уравнение Шредингера для стационарных состояний

2ψ + 2=m2 (E −U ) ψ = 0

Напишем граничные условия. В силу непрерывности

ψ(0) =ψ(a) = 0

ψ(x) = Asin(kx x) + B cos(kx x) x =0

ψ(o) = B B = 0, A ≠ 0

ψ(x) = Asin(kx x)

Найдем A u kx x=a

ψ(a) = Asin(kx a) = 0

.

kx a = nπ kx = naπ

E = =2π 2 n2 , где а- ширина потенциальной ямы. 2ma2

Найдем разность значений энергии в 2-х кв. состояниях

при а =1 см.

Разность значений энергии – очень малая величина. Если область, представленная для движения электрона велика (макрообласть), то разность энергии электронов в двух соседних кв. состояниях имеет порядок 10-15 эВ.

0

Вычислим E при a =1 A E имеет порядок 10 ÷100(2n +1)эВ

Когда область, предоставленная для движения электронов мала ( в пределах размеров атома), то разность энергии электронов в двух соседних кв. состояниях велика, т.е. энергия микрочастиц, движущихся в областях, соизмеримых с атомом, дискретна, квантована

.

n → ∞ EE → 0

Лекция № 7

6. Частица в трехмерной потенциальной яме

Пусть внутри металла потенциальная энергия электрона U=0. Найдем собственные функции и собственные значения энергии частицы (св. электрона), находящегося в трехмерной потенциальной яме.

Состояние установившееся, стационарное, силовое поле не меняется.

“Это уравнение тождественно равно 0 , когда каждое из слагаемых =0 но X(x) , Y(y) , Z(z)

≠ 0

.

n1 , n2 , n3 −квантовые числа Вид ψ −функции

Три разных квантовых состояний имеют одинаковые значения энергии .Состояния разные с одинаковым значением энергии называется вырожденными, а число состояний с одинаковым значением энергии называется кратностью вырождения.

7. Преодоление частицей потенциального барьера (туннельный эффект)

Склассической точки зрения все очевидно. Если высота потенциального барьера меньше энергии частицы , то частица преодолевает этот барьер. Если же высота потенциального барьера больше, то частица отражается от потенциального барьера , т.е не преодолевает его.

Сквантовой точки зрения микрочастица , имея энергию, большую высоты потенциального барьера, отразится от него и ., имея энергию меньше высоты потенциального барьера , могут преодолеть этот барьер.

Рассмотрим прямоугольный потенциальный барьер

.

U

аХ

ψ1 ,ψ2 ,ψ3 −однозначные, конечные, непрерывные, нормированные. Начальные условия:

ψ1 (0) =ψ2 (0)

ψ2 (a) =ψ3 (a)

Чтобы ψ −функция была гладкой, не имела изломов, то необходимо:

ψ1| (0) =ψ2| (0)

ψ2| (a) =ψ3| (a)

Состояние стационарное, установившееся

В первом и третьем уравнениях первое слагаемое –есть уравнение падающей волны де Бройля ,а второе слагаемое отраженной волны от границы х=0. Т.к в III области нет преград то B3 = 0

.

В силу конечности ψ − Функции амплитуда A2 = 0 Используя граничные условия можно

прошедшей к падающей волны .

Коэффициент отражения - отношение квадрата модулей амплитуд отраженной волны к падающей :

| B2 |

R = 1

| A12 |

Из определений следует , что D + R =1. Решение уравнений показывает, что

Чем тяжелее частица , тем меньше вер-ть преодоления частицей потенциального барьера . Чем выше потенциальный барьер U , тем меньше вер-ть преодоление барьера . Вер-ть преодоления широкого барьера меньше.

D e−2βa = e−=2 2m(u−E) a

E t ≥ =

Если за время взаимодействия частицы с потенциальным барьером неопределенной

преодолеет этот барьер. Внутри обр-ся как бы туннель для частицы .Это невозможно объяснить с классической точки зрения .

Лекция № 8

8. Квантовый гармонический осциллятор

.

Линейный гармонический осциллятор описывает движение частицы массы m под действием квазиупругой силы F = −kx

x +ω02 x = 0 − дифференциальное уравнение гармонического классического осциллятора

ω02 = mk

−a ≤ x ≤ a

Склассической точки зрения частица не может выйти из потенциальной ямы

Квантовый гармонический осциллятор это микрочастицы ,(атомы ,ионы, молекулы) совершающие колебательные движения относительно своего положения равновесия . Потенциальная энергия изменяется по такому же закону . Чтобы определить собственную энергию частицы, надо решить уравнение Шредингера

2ψ + 2=m2 (E −U )ψ = 0

Т.к мы рассмотрим колебания относительно оси х , то :

Для квантового осциллятора минимум значения энергии не может быть равным 0 , частица проявляет волновые свойства.