решение задач по ОТУ

9. По логарифмическим частотным функциям определить запас устойчивости по усилению в системе, передаточная функция которой в разомкнутом состоянии

РЕШЕНИЕ:

Из выражения для передаточной функции следует, что система состоит из последовательно соединенных интегратора, корректирующего звена с отставанием по фазе и двух одинаковых инерционных звеньев.

По определению , - частота, на которой .

Интегратор создает фазовый сдвиг- на всех частотах. Два одинаковых инерционных звена создадут фазовый сдвиг - на частоте , на которой каждое звено создает фазовый сдвиг - . Частота сопряжения определяется из соотношения , где Т=0.01, тогда с^-1.

Определим фазовый сдвиг на частоте с^-1, создаваемый корректирующими звеньями:

Т.к. , следовательно .

Тогда ,  = 8.

11. По логарифмическим частотным функциям определить запас устойчивости по усилению в системе, передаточная функция которой в разомкнутом состоянии

.

РЕШЕНИЕ:

- частота, на которой .

Система состоит из 2-х интеграторов и корректирующего звена с опережением по фазе.

2 интегратора создадут фазовый сдвиг –π.

Для определения составим уравнение:

.

(в уравнении приведена сумма ФЧХ звеньев, входящих в систему – двух интеграторов и корректирующего звена).

Это уравнение справедливо при и . Физический смысл имеет второй ответ, тогда , .

Ответ:  = .

12. Передаточная функция разомкнутой системы

.

Определить коэффициент усиления К в системе, при котором запас устойчивости по усилению  = 10.

Из выражения передаточной функции следует, что система состоит из интегратора, корректирующего звена с отставанием по фазе и двух одинаковых инерционных звеньев, соединенных последовательно.

- частота, на которой .

Интегратор создает фазовый сдвиг- на всех частотах. Два одинаковых инерционных звена создадут фазовый сдвиг - на частоте , на которой каждое звено создает фазовый сдвиг - . Частота сопряжения определяется из соотношения , где Т=0.02, тогда с^-1.

Определим фазовый сдвиг на частоте с^-1, создаваемый корректирующими звеньями:

Т.к. , следовательно .

Тогда ,  =.

13. Передаточная функция замкнутой системы

.

Определить импульсную характеристику (t) замкнутой системы.

РЕШЕНИЕ:

По определению ,

где – полюсы или корни характеристического уравнения.

Представим в виде и получим

,

откуда , .

Формула для вычетов при некратных полюсах:

,

тогда , .

Импульсная характеристика имеет вид:

Ответ: (t) = 15,8 (е ^-5t - e ^-100t).

14. Передаточная функция разомкнутой системы

.

Найти импульсную характеристику (t) замкнутой системы.

РЕШЕНИЕ:

По определению ,

где – полюсы или корни характеристического уравнения.

По условию дана передаточная функция разомкнутой системы. Запишем передаточную функцию для замкнутой системы:

;

Корни и найдем из характеристического уравнения ,

откуда , .

,

=15.1

Ответ: (t) = 15,1е ^-5t sin13,2t.

15. Передаточная функция замкнутой системы

.

Определить выходной сигнал в установившемся режиме при управляющем воздействии x(t) = 1(t) и указать порядок астатизма системы.

РЕШЕНИЕ:

См. Задачу №3.

Сигнал ошибки е=х-у_уст=1-1=0, следовательно .

Ответ: y_уст = 1;  = 1.

16. Передаточная функция замкнутой системы

.

Определить выходной сигнал в установившемся режиме при входном сигнале x(t) = 1(t) и указать порядок астатизма системы.

См. задачу №3.

Сигнал ошибки е=х-у_уст=1-0,8=0,2, следовательно .

Ответ: y_уст = 0,8;  = 0.

17. Передаточная функция системы в разомкнутом состоянии

.

Определить выходной сигнал в установившемся режиме в замкнутой системе при входном воздействии x(t) = 10sin5t.

РЕШЕНИЕ:

, где

- комплексные входной и выходной сигналы; - комплексный коэффициент передачи замкнутой системы.

- комплексный коэффициент передачи замкнутой системы.

;

Ответ: y(t)_уст = 11,5sin(5t - 0,12).

18. Передаточная функция разомкнутой системы

.

Каковы условия получения указанного порядка астатизма замкнутой системы

 = 0,  = 1,  = 2 ?

РЕШЕНИЕ:

Порядок астатизма замкнутой системы определяется из выражения для передаточной функции, представленному в виде: , где

Из данного выражения видно, что  = 0 при с₀  0, = 1 при с₀ = 0,

 = 2 при с₀ = с₁ = 0.

19. Передаточная функция замкнутой системы

.

Каковы условия получения указанного порядка астатизма системы

 = 0,  = 1,  = 2 ?

РЕШЕНИЕ:

Выразим через передаточную функцию из равенства

, откуда

,

Тогда , т.к. , тогда .

Представим в виде .

Сравнивая выражения для передаточной функции, видим, что .

 = 0 при b₀  a₀ ,

 = 1 при b₀ = a₀, b₁  a₁ ,

 = 2 при b₀ = a_o, b₁ = a₁, b₂  a₂ .

20. Передаточная функция ошибки системы

.

Каковы условия получения указанного порядка астатизма системы

 = 0,  = 1,  = 2 ?

РЕШЕНИЕ:

Выразим через передаточную функцию из равенства

. Откуда .

. Т.к. , тогда .

Представим в виде . Сравнивая выражение для , видим, что .

Тогда  = 0 при при d₀  0,

 = 1 при d₀ = 0,

 = 2 при d₀ = d₁ = 0.

21. Передаточная функция разомкнутой системы

.

Найти ошибку в замкнутой системе при входном воздействии

x(t) = a₀1(t) + a₁1(t)t .

РЕШЕНИЕ:

По определению .

Представим в виде .

, откуда , . ,

тогда

Ответ: .

22. Передаточная функция разомкнутой системы

.

Найти ошибку в замкнутой системе при входном воздействии

x(t) =a₁1(t)t .

РЕШЕНИЕ:

По определению .

Представим в виде .

, откуда , , ,

тогда

Ответ: .

23. Передаточная функция замкнутой системы

.

Определить характеристическую матрицу при последовательной схеме описания системы в пространстве состояний.

.

Матрица системы имеет вид:

.

Характеристическая матрица:

.

Ответ: .

24. Матрица, обратная характеристической, для системы имеет вид:

.

Определить элементы фундаментальной матрицы, используя следующие соотношения, полученные из формулы для вычетов

,

.

РЕШЕНИЕ:

Ответы: ,

,

,

.

25. Передаточная функция замкнутой системы

.

Определить матрицу системы, вектор управления, наблюдения и описать ее по параллельной схеме описания системы в пространстве состояний.

РЕШЕНИЕ:

Представим в виде . Здесь n=2, - полюсы системы, .

Тогда матрица системы

Вектор управления

Ответы: , , .

где Т - символ транспонирования. (стр. 20-22)

26. На рисунке изображена структурная схема нелинейной системы

Функция нелинейного элемента (НЭ) имеет вид

Нелинейный элемент - это идеальный ограничитель с порогами ограничения  С. Линейная часть системы состоит из последовательно соединенных усилителя и четырех одинаковых инерционных звеньев с передаточной функцией

.

Определить амплитуду А_к и частоту _к автоколебаний в этой системе.

Ответы: ; .

27. На рисунке изображена структурная схема нелинейной системы

Функция нелинейного элемента (НЭ) имеет вид

Линейная часть системы представляет собой последовательное соединение усилителя и четырех одинаковых инерционных звеньев, передаточная функция которой описывается выражением

.

Определить, при превышении какого коэффициента усиления усилителя К в этой системе возникнут автоколебания. При каком К система загенерирует без НЭ?

Ответы: К > 2; К > 4.

28. Системная функция цифрового дифференциатора имеет вид W(z) = 1 - z ^-1. Используя стандартное Z - преобразование, получите выражение для АЧХ цифрового дифференциатора.

Ответ: W() = 2sin,

где  = Т_д ,  - угловая частота, Т_д - период дискретизации.

Подобная задача приведена в учебнике на стр.100.