Уравнения линии конечной длины

Постоянныеив полученных в предыдущей лекции формулах

;

(5)

()

(6)

определяются на основании граничных условий.

Пусть для линии длиной l(см. рис. 1) заданы напряжениеи токв начале линии, т.е. приx=0.

Тогда из (5) и (6) получаем

откуда

Подставив найденные выражения ив (5) и (6), получим

(7)

(8)

Уравнения (7) и (8) позволяют определить ток и напряжение в любой точке линии по их известным значениям в начале линии. Обычно в практических задачах бывают заданы напряжение и токв конце линии. Для выражения напряжения и тока в линии через эти величины перепишем уравнения (5) и (6) в виде

;

(9)

.

(10)

Обозначив и, из уравнений (9) и (10) приполучим

откуда

После подстановки найденных выражений ив (9) и (10) получаем уравнения, позволяющие определить ток и напряжение по их значениям в конце линии

;

(11)

.

(12)

 Координату обозначают еще какy.

Уравнения длинной линии как четырехполюсника

В соответствии с (11) и (12) напряжения и токи в начале и в конце линии связаны между собой соотношениями

;

.

Эти уравнения соответствуют уравнениям симметричного четырехполюсника, коэффициенты которого ;и; при этом условиявыполняются.

Указанное означает, что к длинным линиям могут быть применены элементы теории четырехполюсников, и, следовательно, как всякий симметричный четырехполюсник, длинная линия может быть представлена симметричной Т- или П- образной схемами замещения.

Определение параметров длинной линии из опытов холостого хода и короткого замыкания

Как и у четырехполюсников, параметры длинной линии могут быть определены из опытов холостого хода (ХХ) и короткого замыкания (КЗ).

При ХХ и, откуда входное сопротивление

.

(13)

При КЗ и. Следовательно,

.

(14)

На основании (13) и (14)

(15)

и

,

откуда

.

(16)

Выражения (15) и (16) на основании данных эксперимента позволяют определить вторичные параметрыилинии, по которым затем могут быть рассчитаны ее первичные параметры,,и.

Линия без потерь

Линией без потерь называется линия, у которой первичные параметры иравны нулю. В этом случае, как было показано ранее, и . Таким образом,

,

откуда.

Раскроем гиперболические функции от комплексного аргумента:

Тогда для линии без потерь, т.е. при , имеют место соотношения:и.

Таким образом, уравнения длинной линии в гиперболических функциях от комплексного аргумента для линии без потерь трансформируются в уравнения, записанные с использованием круговых тригонометрических функций от вещественного аргумента:

;

(17)

.

(18)

Строго говоря, линия без потерь (цепь с распределенными параметрами без потерь) представляет собой идеализированный случай. Однако при выполнении и, что имеет место, например, для высокочастотных цепей, линию можно считать линией без потерь и, следовательно, описывать ее уравнениями (17) и (18).