Высшая математика, 1 семестр, ИСТ, ПИЭ

ПРОГРАММА ЭКЗАМЕНА ПО МАТЕМАТИКЕ

для студентов очной формы обучения за 1 семестр 2012-2013 уч. г.

1. Определители, их основные свойства и вычисление.

2. Системы линейных алгебраических уравнений, формулы Крамера.

3. Определение вектора, модуль вектора, коллинеарные и компланарные векторы, равенство векторов.

4. Линейные операции над векторами: сложение и вычитание векторов, умножение вектора на число, свойства этих операций.

5. Проекция вектора на ось, свойства проекции.

6. Базис, разложение вектора по базису, координаты вектора, линейные операции над векторами в координатах.

7. Скалярное произведение векторов, его основные свойства, условия параллельности и перпендикулярности.

8. Выражение скалярного произведения векторов через координаты сомножителей.

9. Вычисление модуля вектора, угла между векторами, работы силы; направляющие косинусы вектора.

10. Векторное произведение векторов, его основные свойства, геометрический и механический смысл.

11. Выражение векторного произведения векторов через координаты сомножителей.

12. Смешанное произведение трех векторов, его выражение через координаты сомножителей, свойства и приложения.

13. Геометрический смысл смешанного произведения.

14. Условие компланарности трех векторов.

15. Уравнение линии на плоскости, прямая как линия первого порядка (необходимое и достаточное условие).

16. Общее уравнение прямой и его исследование.

17. Некоторые частные виды уравнения прямой : уравнение прямой с угловым коэффициентом, уравнение прямой в отрезках, уравнение прямой, проходящей через данную точку в данном направлении, уравнение прямой, проходящей через две данные точки.

18. Угол между двумя прямыми на плоскости.

19. Условия параллельности и перпендикулярности прямых.

20. Нормальное уравнение прямой, приведение общего уравнения прямой к нормальному виду, расстояние от точки до прямой.

21. Кривые второго порядка: окружность, эллипс, гипербола, парабола, вывод их канонических уравнений, исследование формы кривых, эксцентриситет и директрисы.

22. Уравнение плоскости в отрезках, уравнение плоскости, проходящей через три данные точки.

23. Уравнение поверхности, плоскость как поверхность второго порядка, общее уравнение плоскости и его исследование.

24. Нормальное уравнение плоскости, приведение общего уравнения плоскости к нормальному виду, расстояние от точки до плоскости.

25. Условия параллельности и перпендикулярности плоскостей.

26. Прямая линия в пространстве, различные виды ее уравнений.

27. Условия параллельности и перпендикулярности прямых в пространстве, условия параллельности и перпендикулярности прямой и плоскости.

28. Поверхности второго порядка: сфера, цилиндрические поверхности, эллипсоид, конус, гиперболоиды, параболоиды.

29. Матрицы, основные понятия и определения, сложение матриц, умножение матриц на число, умножение матриц, свойства этих операций; обратная матрица и правило ее вычисления, ранг матрицы.

30. Критерий совместности системы линейных алгебраических уравнений (теорема Кронекера-Копелли), матричных метод решения системы.

31. Линейное пространство, примеры линейных пространств.

32. Линейно зависимые и линейно независимые векторы, размерность пространства, подпространство линейного пространства.

33. Базис в линейном пространстве, разложение вектора по базису, координаты вектора.

34. Скалярное произведение в линейном пространстве, евклидово пространство, длина вектора, угол между векторами, ортогональные векторы.

35. Неравенство Коши - Буняковского, неравенство треугольника, ортогональный базис.

36. Линейное преобразование линейного пространства, его матрица.

37. Собственные значения и собственные векторы матрицы линейного преобразования.

38. Симметрические матрицы и их свойства.

39. Поверхности второго порядка. Канонические уравнения, геометрическая иллюстрация.

40. Квадратичные формы и их применение к упрощению линий и поверхностей второго порядка.

41. Комплексные числа, их геометрическое изображение на комплексной числовой плоскости, равенство комплексных чисел, комплексно - сопряженные числа.

42. Действия с комплексными числами в алгебраической форме.

43. Тригонометрическая форма комплексного числа, свойства модуля и аргумента.

44. Степень комплексного числа с натуральным показателем, формула Муавра корень п – степени из комплексного числа.

45. Степень числа е с комплексным показателем, формулы Эйлера, показательная форма комплексного числа.

Литература

1. Беклемишев Д.В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры.

2. Щипачев В.С. Высшая математика.

3. Бугров Я.С., Никольский С.М. Высшая математика.

4. Данко П. Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах.

5. Бронштейн И.Н., Семендяев К.А. Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов.

6. Практикум по высшей математике для экономистов. Под редакцией профессора Н.Ш. Кремера.

2