3. Дифференциальные уравнения первого порядка. Теорема существования и единственности решения дифференциального уравнения первого порядка.

Если в уравнении у = f (х, у) и ее частная производная ∂ f / ∂у непрерывны в некоторой области D на плоскости х0у, содержащей некоторую точку (х₀, у₀), то существует единственное решение этого уравнения у = φ (х), удовлетворяющее условию у₀ = φ (х₀) (это условие называется начальным и его часто записываются в виде у|_{х = х0} = у₀ .

Геометрически теорема означает, что существует единственная функция у = φ (х), являющаяся решением дифференциального уравнения, график который проходит через точку (х₀ у₀).

Определение 1.1Общим решением дифференциального уравнения первого порядка называется функция у = φ (х, с) удовлетворяющая условиям:

• она является решением уравнения при любом значении произвольной постоянной С;

- для любого начального условия у|_{х = х0} = у₀ из области D теоремы существования найдется такое значение С = С₀ что решение у = φ (х, с₀) удовлетворяет начальному условию, т.е. φ (х, с₀) = у₀.

Замечание. Часто общее решение получается в неявном виде Ф(х, у, С) = 0, тогда оно называется общим интегралом.

Определение 1.2.Частным решением называется функция у = φ (х, с₀) , получающаяся из общего решения при определенном значении С = С₀. Аналогично функция Ф(х, у, С) = 0 называется частным интегралом. Задача нахождения частного решения, удовлетворяющего начальному условию, называется задачей КОШИ.

Геометрически частное решение изображается кривой на плоскости (интегральной кривой), а общее решение множеством (семейством) кривых.

Если задано дифференциальное уравнение у^' = f (х, у), то в каждой точке плоскости х0у можно найти значение функции f (х, у). Этому значению равна ( в силу дифференциального уравнения) производная от решения в данной точке (угловой коэффициент касательной). Тем самым дифференциальное уравнение в каждой точке задает направление (т.е. поле направлений на плоскости х0у). Интегральная кривая проходит касаясь в каждой точке этого направления.

Пример.Рассмотрим дифференциальное уравнение у^'=. В точке (1.1) угловой коэффициент касательной равен f (1.1) = 1. Такой же наклон (tq φ = 1φ) будет во всех точках прямой у = х (f (х, у) = 1). В точках прямой у = 2х наклон касательной также будет одинаков и равен tq φ =. Для этого уравнения нетрудно найти наклоны касательных и в точках прямых, проходящих через начало координат. Таким образом, поле направлений можно изобразить следующим образом (1 рис.).

Рис. 1. Изображение одной из интегральных кривых.

4. Некоторые типы уравнений первого порядка.

1. Уравнения с разделяющимися переменными. Это уравнения, которые можно привести к виду у^' = f₁(х) * f₂ (у). Они решаются разделением переменных: производная записывается как отношение дифференциалов, группируются по разные стороны от знака равенства члена, содержащие х и у соответственно. После интегрирования получается общий интеграл уравнения.

Пример 1.Найти общий интеграл уравнения у^'=.

Решение.ln |у| = ln |х| + ln |с| - общий интеграл ( ln |с| - произвольная постоянная, записанная в удобной форме).|y| = |cx|у = сх – общее решения.

Аналогично решаются задачи 1-25.

2. Однородные уравнения. Это уравнение вида у^' = f (х, у), где функция f (х, у) обладает свойствами f = (λx, λу) = f (х, у). На основании указанного свойства правой части, с помощью замены переменных у = и * х (вместо функции у (х) вводится новая функция и(х), однородное уравнение сводится к уравнению с разделяющимися переменными.

Пример 2. Найти общее решение уравнения: у^'=ln+.

Решение.Убеждаемся, что уравнение однородное:

ln+=ln+. Делаем указанную замену переменных у = и * ху^'= и^'х + и (производная произведения). В новых переменных уравнение имеет вид и^'х + и = иlnи + и и решается разделением переменныхuln |lnu| = ln|x| + ln|c||lnu| = |cx| lnu = cxu = e^сх.

После возврата к старым переменным общее решение примет вид:

= e^сху = х * e^сх.

3. Линейное уравнения. Это уравнение вида у^'+ Р (х) * у = Q (х). Будет решать методом вариации произвольной постоянной:

- решается однородное уравнение у^'+ Р (х) * у = 0 , с разделяющимися переменными= - Р (х) dxу – с *,

- произвольная постоянная С считается функцией с (х) и эта функция подбирается из условия, чтобы у = с(х) * была бы решением исходного неоднородного уравнения; этот подбор сводится к решению еще одного уравнения с разделяющимися переменными относительно искомой функции с (х). После подстановки ч = с(х) *в уравнение имеем+ Р(х)= Q (х)с^' = Q (х)с =Q (х)dx + с₁.

Окончательно общее решение имеет вид: у = (Q (х)dx + С₁ ) .

Пример.3. Кривая проходит через точку (1.3), угловой коэффициент касательной к этой кривой в любой ее точке зависит от координат точки касания следующим образом: к (х, у) = - х . Найти уравнение этой кривой.

Решение.

Из геометрического смысла производной, для нахождения уравнения кривой можно записать: у¹ = - х.

Частное решение этого уравнения, удовлетворяющее условию : у (1) = 3, дает уравнение искомой кривой:

1. у¹ = = ln|y| ln |х| + ln |с|у = с.

2. у = с(х) * с' + с * =- хс' = с = -2+ с₁.

Общее решение дифференциального уравнения имеет вид: у = (с₁ - 2)- 2х².

Из начального условия у (1) = 3 подберем произвольную постоянную С₁ . Имеет 3 = С₁ – 2 С₁ = 5.

Таким образом, уравнение искомой кривой имеет вид: у = 5- 2х².

Аналогично решается задачи 26 – 50.