Волжская государственная академия водного транспорта

Кафедра математики

Б.С. Украинский

ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ОБ ОБЫКНОВЕННЫХ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЯХ

Методические указания к решению задач,

примеры и варианты контрольной работы № 4

для студентов - заочников всех специальностей

Н. Новгород

2000 г.

1. ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

Рабочий план-программа и методические указания

1. Обыкновенные дифференциальные уравнения и их решение.

2. Дифференциальные уравнения первого порядка. Задача Коши. Теорема существования и единственности решения задачи Коши. Основные классы уравнений, интегрируемых в квадратурах.

3. Дифференциальные уравнения второго порядка. Задача Коши. Уравнения, допускающие понижение порядка.

4. Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами. Уравнения с правой частью специального вида.

5. Численное интегрирование дифференциальных уравнений.

Литература

1. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления для втузов. – М.: Наука, 1970. – Т. 1;2, гл. XIII, №№ 1-11, 16-18; 20-25.

2. Задачи и упражнения по математическому анализу для втузов /Под ред. В.П. Демидовича. – М.: Наука, 1964.

Вопросы для самопроверки (вопросы экзаменационных билетов).

1. Определение дифференциального уравнения, его порядка и решения.

2. Определение уравнения первого порядка, формулировка и геометрический

смысл задачи Коши.

3. Формулировка теоремы существования и единственности решения задачи Коши для уравнения первого порядка.

4. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными и метод нахождения их общих решений.

5. Однородные дифференциальные уравнения первого порядка и метод нахождения их общих решений.

6. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка и метод нахождения их общих решений.

7. Метод решения уравнений вида .

8. Метод решения уравнений вида .

9. Метод решения уравнений вида .

10. Решение однородных линейных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами

11. Решение неоднородного уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами и правой частью вида .

12. Решение неординарного уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами и правой частью вида

13. Метод Эйлера численного интегрирования дифференциальных уравнений.

2. Основные понятия и сведения

Определение 1. Обыкновенным дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее независимую переменную , искомую функциюи ее производные, т.е. уравнение вида

Определение 2. Порядком дифференциального уравнения называются порядок наивысшей производной, входящей в уравнение.

Пример. - уравнение третьего порядка.

Определение 3. Решением или интегралом дифференциального уравнения называется всякая функция , обращающая его в тождество относительно.

Пример. - решение уравнениятак как