4. Площадь

Площадь S пластинки Д равна

.

1.2. Тройной интеграл

5. Определение тройного интеграла

Пусть даны:

1) область W в трехмерном пространстве х, у, z;

2) функция трех переменных u = f(x,y,z);

Выполним следующее вычисление:

1) разобьем область W на произвольное число частей произвольных размеров и формы;

2) в каждой части выберем произвольную точку;

3) в каждой из этих точек вычислим значение данной функции;

4) умножим каждое их этих значений на объем соответствующей части;

5) все такие произведения сложим.

Получившееся число называется ИНТЕГРАЛЬНОЙ СУММОЙ функции f(x,y,z) в области W.

Предел интегрально суммы, когда размеры всех частей стремятся к нулю, а их число к бесконечности, называется ТРОЙНЫМ ИНТЕГРАЛОМ функции f(x,y,z) по области W.

Он обозначается .

6. Вычисление тройного интеграла

Пусть область W ограничена снизу графиком функции z=z₁(x,y), а сверху графиком функции z=z₂(x,y).

Для вычисления тройного интеграла

1) спроектируем область W на плоскость х, у. Проекцией будет некоторая область Д на этой плоскости;

2) зафиксируем в области Д. произвольную точку (х, у) и проведем через нее вертикальную прямую. Будем передвигаться по ней в направлении возрастания z; при этом f будет функцией только одной переменной z. Вычислим интеграл этой функции вдоль участка вертикальной прямой, расположенного в области W.

;

3) величина этого интеграла зависит от того, какая взята точка (х,у), т.е. является функцией двух переменных х и у. Найдем ее интеграл по области Д. Можно доказать, что получившееся число равно искомому тройному интегралу

7. Моменты инерции тела

Подобно тому, как физические величины, связанные с пластинкой, вычисляются как двойные интегралы, те же величины, связанные с пространственным телом, вычисляются как тройные интегралы.

Например, вывод формулы для момента инерции J₀ тела относительно начала координат делается точно также, как и соответствующей формулы для пластинки (пункт 3) с заменой площадей частичных областей на объемы.

Моменты инерции однородного тела W относительно начала координат J₀, оси абсцисс J_х, оси ординат J_y и оси аппликат J_z равны

,

,

Здесь ρ - объемная плотность.

8. Объем

Объем V тела W равен

V =

1.3. Теория поля

9. Поток. Определение

Если в каждой точке (х, у, z) некоторой пространственной области задан вектор, то говорят, что в этой области задано векторное поле. Например, поле скоростей текущей жидкости, поле векторов напряженности электрического заряда.

Пусть заданы:

1) векторное поле ;

2) кусок некоторой поверхности;

3) направление вектора единичной нормали к куску(направление нормали можно задать двумя способами. Например, если- часть сферы, то нормаль может смотреть стрелкой в центр сферы, а может - в противоположном направлении).

Выполним следующее вычисление:

1) разобьем кусок на произвольное числоN частей произвольных размеров и формы;

2) в каждой части выберем произвольную точку ();;

3) для каждой из этих точек найдем соответствующий вектор поля и вектор единичной нормали;

4) вычислим скалярные произведения ;

5) умножим каждое из этих произведений на площадь ∆S_m соответствующей частичной области. Получатся числа ;

6) сложив все эти числа, получим сумму ;

Предел этой суммы, когда размеры частичных областей стремятся к нулю, а их число к бесконечности называется ПОТОКОМ векторного поля через кусок поверхностиJ в направлении нормали .

Он обозначается .