5.3. Для изучения влажности пшеницы было проведено обследование 200 одинаковых по массе порций. В результате получено следующее распределение порций по влажности пшеницы:
|
Таблица 5.21 |
|
|
|
|
Влажность пшеницы, % |
Удельный вес порций в общем итоге |
|
10-12 |
0,06 |
|
12-14 |
0,06 |
|
14-16 |
0,32 |
|
16-20 |
0,49 |
|
Свыше 20 |
0,07 |
|
Итого |
1,00 |
|
Определите среднюю влажность пшеницы.
5.4. Для изучения качества пряжи было проведено обследование 100 одинаковых по массе образцов пряжи, в результате чего получены следующие результаты:
|
Таблица 5.22 |
|
|
Число проб |
|
Группы образцов пряжи по крепости нити, г. |
||
До 160 |
3 |
|
160-180 |
5 |
|
180-200 |
25 |
|
200-220 |
40 |
|
220-240 |
20 |
|
240-260 |
7 |
|
Итого |
100 |
|
Определите среднюю крепость нити.
5.4. Исчисление средней арифметической взвешенной по способу моментов
Методические указания и решение типовых задач
Расчеты средней арифметической могут быть громоздкими, если варианты и веса имеют большие значения. Однако использование следующих основных математических свойств средней арифметической взвешенной позволяет значительно упростить вычисления. Приведем основные свойства средней арифметической:
96
1)если уменьшить все варианты на какое-либо произвольное постоянное число (А), то новая средняя уменьшится на то же число;
2)если уменьшить все варианты в одинаковое число раз (К), то средняя уменьшится во столько же раз;
3)если уменьшить или увеличить веса (частоты) всех вариант на какое-либо постоянное число (А), то средняя арифметическая не изменится;
4)сумма отклонений всех вариант от общей средней равна
нулю.
Рассмотрим методику расчета средней с использованием этих свойств.
Задача 7. Имеются следующие данные о времени горения электроламп:
|
|
|
Таблица 5.23 |
|
|
|
|
|
|
Группы электроламп |
Число электроламп |
x |
|
x f |
по времени горения, ч. |
(f) |
|
|
|
800 -1 000 |
20 |
900 |
|
18 000 |
1 000-1 200 |
80 |
1 100 |
88 000 |
|
1 200-1 400 |
160 |
1 300 |
208 000 |
|
1 400-1 600 |
90 |
1 500 |
135 000 |
|
1 600-1 800 |
40 |
1 700 |
680 00 |
|
1 800-2 000 |
10 |
1 900 |
19 000 |
|
|
400 |
- |
536 000 |
|
Для сравнения рассчитаем среднее время горения электроламп обычным, уже известным нам способом, по средней арифметической взвешенной. Результаты расчетов представлены в таблице. Таким образом, среднее время горения электроламп будет равно:
х = ∑∑хff = 536000400 =1340 ч.
Задача 8. Используя данные типовой задачи 7 о времени горения электроламп, произведем расчет арифметической взвешенной по способу моментов:
97
Таблица 5.24
Группы электроламп |
Число |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
х − А |
|
f |
= |
|
||
|
х-А = |
|
х − А |
|
|
х −1300 |
|
|
|
10 |
|
||||||
по времени горения, |
электро- |
х |
|
= |
|
|
i |
|
|
|
|||||||
х-1300 |
|
i |
200 |
|
|
х −1300 |
|
|
f |
|
|||||||
ч. |
ламп |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
10 |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
200 |
|
|
|
|||
800-1000 |
20 |
900 |
-400 |
|
|
-2 |
|
|
-4 |
|
|
|
|
||||
1000-1200 |
80 |
1100 |
-200 |
|
|
-1 |
|
|
-8 |
|
|
|
|
||||
1200-1400 |
160 |
1300 |
0 |
|
|
|
0 |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
||
1400-1600 |
90 |
1500 |
200 |
|
|
|
1 |
|
|
9 |
|
|
|
|
|
||
1600-1800 |
40 |
1700 |
400 |
|
|
|
2 |
|
|
8 |
|
|
|
|
|
||
1800-2000 |
10 |
1900 |
600 |
|
|
|
3 |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
||
Итого |
400 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8 |
|
|
|
|
|
|
Рассмотрим методику расчета, результаты которого приведены в таблице.
Воспользуемся первым свойством средней взвешенной, которое позволяет исчислить среднюю не по фактическим значениям вариант, а по отклонениям вариант от постоянной А. В качестве постоянной А принято брать какую-либо серединную варианту ряда с наибольшей частотой. В нашем примере это х = А = 1300.
Найдем отклонения вариант от этой величины и получим значения новых вариант: х-А=х-1300.
Воспользуемся далее вторым свойством и уменьшим варианты в несколько раз. В качестве кратного числа возьмем величину интервала ряда распределения, которая равна 200.
Разделив значения вариант (х - А) на 200, получим новые значения вариант:
х−i А = х−2001300 .
Используя свойство третье, сократим частоты в 10 раз и произведем умножение полученных значений на варианты:
х−i А 10f = х−2001300 10f .
Для получения средней арифметической взвешенной необходимо разделить алгебраическую сумму взвешенных вариант на сумму весов:
98