Задание 3. Решение задач линейного программирования симплекс-методом

Пример. Симплекс-методом решить ЗЛП:

(3.1)

при наличии ограничений:

(3.1)

, . (3.2)

Приводим систему линейных неравенств (3.1) к каноническому виду, вводя в каждое неравенство дополнительную переменную ,. Получим систему линейных уравнений:

(3.3)

Целевая функция принимает вид

(3.4)

Расширенная матрица

системы линейных уравнений (3.3) является исходной К-матрицей ЗЛП, которая определяет исходный опорный план:

, .

Кроме того, .

Результаты последовательных итераций симплекс-алгоритма удобно оформить в виде симплекс-таблицы (см. табл. 3.1).

Таблица 3.1

S	i				3	2	0	0	0	0
					1	2	3	4	5	6
0	1 2 3 4	3 4 5 6	0 0 0 0	6 8 1 2	1 2 -1 0	2 1 1 1	1 0 0 0	0 1 0 0	0 0 1 0	0 0 0 1	6 4 - -
					-3	-2	0	0	0	0	k=1 l=2
1	1 2 3 4	3 1 5 6	0 3 0 0	2 4 5 2	0 1 0 0	3/2 1/2 3/2 1	1 0 0 0	-1/2 1/2 1/2 0	0 0 1 0	0 0 0 1	4/3 8 10/3 2
					0	-1/2	0	3/2	0	0	k=2 l=1
2	1 2 3 4	2 1 5 6	2 3 0 0	4/3 10/3 3 2/3	0 1 0 0	1 0 0 0	2/3 -1/3 -1 -2/3	-1/3 2/3 1 1/3	0 0 1 0	0 0 0 1
					0	0	1/3	4/3	0	0

На второй итерации S = 2, все , следовательно, опорный план

, ,

определяемый К-матрицей К⁽²⁾, оптимальный. Тогда

, .

Задания для самостоятельного выполнения

Предприятие производит 3 вида продукции: А₁, А₂, А₃, используя сырье двух видов: В₁ и В₂. Известны затраты сырья i-го вида на единицу изделия j-го вида (), количество сырья каждого вида (i=1,2), а так же прибыль, полученная от единицы изделия j-го вида с_j (j=1,2,3).

Сколько изделий каждого вида необходимо произвести, чтобы получить: 1) максимум прибыли;

2) максимум товарной продукции?

Обозначения для вариантов: в таблице приведена матрица затрат: А=(а_ij), справа от таблицы значение b_i (i=1,2) и внизу - с_j (j=1,2,3).

Задание 4. Решение задач линейного программирования на основе теории двойственности

Рассмотрим пример построения двойственных задач.

Пусть прямая задача записана в виде основной ЗЛП:

Каноническая форма прямой задачи примет вид

Двойственная задача примет вид:

Теоремы двойственности позволяют получить оптимальное решение двойственной задачи по известному оптимальному решению прямой задачи.

Пусть есть прямая ЗЛП:

Пусть известно ее прямое решение

Двойственная задача примет вид :

Т.к. х₁ >0, то решение будем искать из первого ограничения двойственной задачи .Т.к. первое и третье ограничение прямой задачи обращается в строгое неравенство при решении прямой задачи, то .

Таким образом, .

Построить двойственные задачи в соответствии с вариантами: