MatAn1semestr

С.Ф.ЛУКОМСКИЙ

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ

ВВЕДЕНИЕ. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ

САРАТОВ

2012

Оглавление

4Отображения, классификация отображений . . . . . . . . . . 15

5Конечные и бесконечные множества . . . . . . . . . . . . . . 17

15Представление действительных чисел в виде бесконечной десятичной дроби. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

5Предельный переход в неравенствах . . . . . . . . . . . . . . 41

3

6Фундаментальная последовательность и ее свойства . . . . . 42

7Монотонная последовательность. Критерий сходимости мо-

9Выделение сходящейся подпоследовательности из ограниченной последовательности . . . . . . . . . . . . . . . 44

10Критерий Коши сходимости числовой последовательности . 44

11Неравенство Бернулли . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

12Число Непера . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

1Предел функции, различные определения предела . . . . . . 50

2 Предел функции на языке последовательностей (по Гейне) . 51

3Единственность предела . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

4 Предельный переход в неравенствах . . . . . . . . . . . . . . 51

5Арифметические операции над пределами . . . . . . . . . . . 52

9Односторонние пределы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

10Первый замечательный предел . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

11Бесконечные пределы и пределы в бесконечно удаленной точке 56

1Непрерывные функции в точке. Несколько определений . . . 57

2Сохранение знака непрерывной функции в окрестности точ-

8Равномерно непрерывные функции. Теорема Кантора . . . . 61

9Ограниченность функции, непрерывной на отрезке. Наиболь-

4

15Логарифмическая функция как обратная к показательной . 69

16Пределы, связанные с показательной и логарифмической

1Производная, ее геометрический и физический смысл . . . . 71

2 Дифференцируемая функция и ее дифференциал . . . . . . 73

3Непрерывность дифференцируемой функции . . . . . . . . . 74

4 Производная суммы, произведения и частного . . . . . . . . 74

5Производная сложной функции . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

9Производные высших порядков . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

10Дифференциалы высших порядков . . . . . . . . . . . . . . . 78

11Наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке.

16Формула Тейлора с остатком в форме Пеано . . . . . . . . . 85

17Формулы Тейлора для элементарных функций . . . . . . . . 85

1Монотонность функции в точке. Необходимые условия моно-

тонности в точке. Достаточные условия . . . . . . . . . . . . 92

2Монотонность функции на отрезке. Необходимые и достаточ-

ные условия монотонности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

3Экстремум функции в точке. Необходимое условие экстремума 94

6Касательная и ее уравнение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

7Выпуклость в точке, точки перегиба . . . . . . . . . . . . . . 98

5

9Асимптоты графика функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

10Построение графиков функций . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

11Правило Лапиталя для неопределенности 00 . . . . . . . . . . 104

∞. . . . . . 105

∞

6

Введение

Настоящее издание представляет собой курс лекций по математическому анализу, который читается автором на протяжении многих лет. Он не является учебником, которым можно пользоваться самостоятельно без посещения занятий и лекций. Скорее это конспект лекций, который должен остаться у студента, после того как он прослушал этот курс, но по какой-то причине плохо его записал. Автор пытался сделать изложение максимально строгим и по возможности более полным. Здесь почти отсутствуют предложения студенту доказать самостоятельно. Автор пытался последовательно проводить в жизнь принцип: очевидно – это легко доказуемо. В результате почти все очевидные вещи доказаны.

Изложение начинается с теоретико-множественного и логического введения, которое скорее является языком данного издания. Подробно излагается аксиоматическая теория действительных чисел и на ее основе определяются натуральные, рациональные и иррациональные числа. Этому посвящена вся первая глава. В этой же главе вводятся такие фундаментальные понятия анализ, как верхняя и нижняя грани множества и функции.

В остальных главах содержится традиционный материал анализа. Издание не содержит задач, так как его основная цель – помочь студенту овладеть теоретическими понятиями.

7

Глава 1

Множество действительных чисел.

1.Высказывания, предикаты и операции над ними.

Определение 1.1. Повествовательное предложение, о котором можно сказать истинно оно или ложно, называется высказыванием. Высказывания обозначают большими буквами латинского алфавита A,B,C,...и т.д.

Например: число 4 четное – истинное высказывание; число 9 делится на 4 – ложное.

Определение 1.2. Пусть A,B – высказывания.

1) Высказывание "не A"или "неверно, что A"называется отрицанием и

¯

обозначается ¬A или A. Высказывание ¬A считается истинно тогда и только тогда, когда A ложно.

2)Высказывание "A и B”, которое считается истинным тогда и только тогда, когда одновременно истинны высказывания A и B, называется конъюнкцией и обозначается A B.

3)Высказывание “A или B”, которое считается истинным, когда хотя бы одно из высказываний A и B истинно, называется дизъюнкцией и обозначается A B.

4)Высказывание "A влечет B\ или \из A следует B\, которое ложно в единственном случае, когда A истинно и B ложно, называется импликацией и обозначается A = B.

5)Высказывание "A равносильно B\, которое истинно тогда и только тогда, когда A и B имеют одинаковые значения истинности, называются эквиваленцией и обозначается A B.

8

Значения операций можно записать в виде таблиц истинности.

Свойства.

1)A (B C) = (A B) (A C);

2)A (B C) = (A B) (A C);

3)¬(A B) = ¬A ¬B;

4)¬(A B) = ¬A ¬B.

Докажем свойство 3). Запишем таблицу истинности

Так как столбцы ¬(A B) и ¬A ¬B совпадают, то свойство 3) доказано.

Определение 1.3. Повествовательное предложение, содержащее переменную и обращающееся в высказывание при подстановке вместо переменной конкретного значения, называется предикатом. Обозначение:

A(x), B(x), C(x, y).

Например: x2 = 1 – предикат. Если x = 1 или x = −1, то имеем истинное высказывание. В противном случае – ложное.

Определение 1.4. Выражение "существует"называется квантором существования, обозначается . Выражение "для всех"или "для любых"называется квантором общности и обозначается

Кванторы используют для того, чтобы превратить предикат в высказывание.

9

Например: x, x2 = 1 –ложное высказывание;x, x2 = 1 –истинное высказывание.

Замечание. Очевидно, что справедливы следующие равенства

¬( x, P (x)) = x, ¬P (x); ¬( x, P (x)) = x, ¬P (x);

2.Множества и операции над ними

Под множеством будем понимать некоторую совокупность объектов произвольной природы. Объекты, составляющие множество, называются элементами. Обозначаются множества A, B, X, Z и так далее. Обозначения для элементов a, b, c, d, x, z, y, ....

Если a и b – элементы множества A, то пишут a A, b A и говорят, что a принадлежит множеству A. Множество, не содержащее ни одного элемента, называют пустым, обозначают . Пустое множество единственно. Способы задания:

1)перечислением всех элементов множества, например X = {2, 3, 8};

2)с помощью характеристического свойства: X = {x : P (x)}, например

X = {x : x2 = 1}.

Определение 2.1. Пусть A и B множества.

1)Множества A и B называются равными, если они состоят из одних и тех же элементов, т.е. A = B (x A x B) (x B x A).

2)A B, если любой элемент множества A является элементом множества B. Читается: A подмножество B или A включается в B или

B включает A.

df

Коротко: A B (x A = x B).

Предложение 2.1. A = B A B B A

Доказательство. A = B A и B состоят из одинаковых элементов, т.е. любой элемент x, принадлежащий A, обязательно принадлежит B и любой элемент x, принадлежащий B, обязательно принадлежит A.

Замечание. Графически включение A B изображается с помощью диаграмм Эйлера.

Определение 2.2. Пусть A и B множества. Тогда

10