Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Саратовский государственный университет им. Н.Г. Чернышевского

Предмет:

Линейная алгебра

Файл:

ЛинАлгебра

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

09.06.2015

Размер:

465.58 Кб

Скачать

☆

1 / 61 2 3 4 5 6 > Следующая >>>

ФГОУ ВПО «Саратовский государственный университет им. Н.Г. Чернышевского»

НЕКОТОРЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ СИСТЕМ

ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ

М.П. Мисник, О.В. Сорокина

Учебное пособие для студентов нематематических специальностей и направлений подготовки

Саратов 2013

СОДЕРЖАНИЕ

ВВЕДЕНИЕ…………………………………………………………………….3

Глава 1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ………..….….4

1.1.МАТРИЦЫ………………………………………………………..…………………......4

1.2.ОПЕРАЦИИ НАД МАТРИЦАМИ…………………………………………………….6

1.3.ОПРЕДЕЛИТЕЛИ…………………………………………………………………….....9

1.4.РАНГ МАТРИЦЫ…………………………..…………………………………….…….14

1.5.ОБРАТНЫЕ МАТРИЦЫ………………………………………………………………16

Контрольные вопросы к главе 1………….……………………………………………..…17

Глава 2. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ………………….…...…19

2.1.ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ…………………………………………………….……..…19

2.2.ИССЛЕДОВАНИЕ СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ………………………20

2.3.РЕШЕНИЕ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ С ПОМОЩЬЮ ОБРАТНОЙ

МАТРИЦЫ…………………………………………………………………………………..27

2.4.ПРАВИЛО КРАМЕРА…………………………………………………………………29

2.5.МЕТОД ГАУССА…………………………………………………………...……….…34

2.6.КОМПАКТНАЯ СХЕМА ИСКЛЮЧЕНИЯ…………..……………………….……...38

2.7.МЕТОД ЖОРДАНА – ГАУССА………………………….……………..…………….43

Контрольные вопросы к главе 2………….……………………………………………..…48

ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ……………………….………...…49

ОТВЕТЫ……………………………………………………………………………………..53

Список рекомендованной литературы……………………..………..…………………….54

ВВЕДЕНИЕ

Учебное пособие написано в соответствии с Государственным образовательным стандартом высшего профессионального образования и рабочей программой курса «Математика» для студентов Института химии СГУ.

Курс «Математика» является фундаментальной общеобразовательной дисциплиной. Ее изучение предусматривает:

•развитие логического и алгоритмического мышления;

•овладение основными методами исследования и решения математических задач;

•овладение основными численными методами;

•выработку умения самостоятельно расширять математические знания и проводить математический анализ прикладных задач.

Цель пособия – помочь студентам первого курса Института химии СГУ освоить первоначальные понятия линейной алгебры и получить практические навыки при решении систем линейных алгебраических уравнений.

Пособие содержит следующие главы: основные понятия линейной алгебры, системы линейных алгебраических уравнений. Более подробное содержание приведено в оглавлении. В пособии кратко изложены необходимые теоретические сведения и формульные соотношения, основной материал иллюстрируют примеры. В конце каждой главы приведены контрольные вопросы, позволяющие оценить качество освоения теоретического материала. Задачи для самостоятельного решения, приведенные в конце пособия, позволят обучающимся научиться применять полученные знания на практике, тем самым будут способствовать лучшему пониманию и усвоению материала, а ответы помогут проконтролировать правильность решения задач.

Пособие может быть полезно при изучении данной темы студентами нематематических специальностей и направлений подготовки, изучающих высшую математику.

Глава 1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ

1.1. МАТРИЦЫ

Пусть имеется m × n произвольных, не обязательно различных, действительных чисел. Эти числа можно расположить в виде таблицы, со-

стоящей из

строк и

столбцов.

Определение 1.1. Прямоугольная таблица чисел, расположенных в

m строк и

столбцов, называется матрицей размера

m × n

(чита-

ется "эм на эн").

Пример.

– матрица размера 2×3.

− 1

Каждое число определяется номером строки и номером столбца, на

пересечении которых оно находится. Например, число –1

находится во

второй строке и первом столбце.

Матрицы обозначаются прописными буквами:

A, B, C

и т.д..

Эле-

мент матрицы (число), стоящий в общем случае в

i -й

строке и

j -м

столбце, обозначается строчными буквами

a ij , bij , cij и т.д.

Запись

A = (aij

), где

i = 1,2,..., m,

j = 1,2,..., n

обозначает матрицу

размера

m × n

с элементами

aij . Если это важно, то размерность матрицы ука-

зывают в ее названии:

A m×n .

Матрица

A m×n

может быть записана в виде

A =

a21

a 22

a2 n

m 2

Здесь и далее точками обозначается продолжение записи элементов матрицы или определителя.

Определение 1.2. Квадратной матрицей n -ого порядка называ-

ется матрица, состоящая из n строк и n столбцов:

a11

a21an1

a		a
	12		1n
a 22
a 22		a2 n .
a		a
	n 2		nn

Главная	диагональ	квадратной	матрицы	–	это	элементы
a 11 , a 22 ,..., a nn .
Побочная	диагональ	квадратной	матрицы	–	это	элементы
a 1 n , a 2 ( n − 1 ) ,...,	a n 1 .

Определение 1.3. Верхней треугольной матрицей называется квад-

ратная матрица вида
		a			a		a
				11		12		1n
				0	a 22		a2 n		.
				0		0	ann
				0		0	ann

Определение 1.4. Нижней треугольной матрицей называется квад-
ратная матрица вида
						0		0
		a11				0		0
		a21			a 22			0	.
					a		a
		a			a		a
				n1		n 2		nn
Определение 1.5.		Диагональной					матрицей называется квадратная
матрица вида
		a11				0		0

				0	a 22			0	.
				0		0	ann
				0		0	ann

Определение 1.6. Единичной матрицей E n×n										называется квадрат-
ная матрица вида
				1	0		0

				0	1		0 .
				0	0		1
Очевидно, что элементы единичной матрицы										E n×n определяются
соотношением e =	1, если i = j ,				где		i =1,2,..., n,			j =1,2,..., n .
ij	0, если i ≠ j
Определение 1.7. Нулевой матрицей называется матрица (любого
размера), все элементы которой – нули. Нулевая матрица обозначается O .
Определение 1.8.		Матрица				A m×n			называется равной матрице
Bm×n , если для элементов матриц выполняется равенство
aij		= bij ,	i =1,2,..., m,						j =1,2,..., n .
Обозначается	A = В .

1.2. ОПЕРАЦИИ НАД МАТРИЦАМИ Сложение (вычитание) матриц

Определение 1.9. Суммой (разностью) двух матриц A m×n и Bm×n
одинакового размера называется матрица				C того же размера, элементы
которой определяются по формуле
сij = aij + bij (сij = aij		− bij ) ,	i = 1,2,..., m, j = 1,2,..., n .
Обозначается	С = А + В	(С = А − B) .
Замечание. Матрицы разного размера складывать нельзя.
Пример. Найти сумму матриц
A	1 0	− 1	B		2	− 1 3
A	=	,	B	=		.
2×3			2×3		− 4
	2 3	1			− 4	3 0

Решение.

1 0

− 1

− 1 3

1 + 2 0 − 1

− 1 + 3

C = A + B =

2 3

− 4

3 0

2 − 4 3 + 3

1 + 0

− 1

− 2

Умножение матрицы на число

Определение 1.10. Произведением матрицы

A m×n

и числа

α на-

зывается матрица

C того же размера, что и матрица

с элементами

сij

= α aij ,

i = 1,2,..., m,

j = 1,2,..., n .

Обозначается

С = αА.

Пример. Вычислить линейную комбинацию

2 A + B

матриц

− 2

1 − 3

A3×3 = 1

0 − 4

и B3×3 = − 1

2 .

− 3

1 − 1

6 − 1

Решение.

− 2

1 − 3

− 4

2 A + B = 2 1

0 − 4 + − 1 2

2 = 2

0 − 8 +

− 3

1 − 1

6 − 1

− 6

2 − 2

1 − 3

− 3

+ − 1

2 = 1

− 6 .

6 − 1

Умножение матриц

Определение 1.11. Произведением матрицы

размера m × p

матрицы

размера

p × n

называется матрица

размера

m × n ,

элементы которой определяются по формуле

cij

= ai1b1 j

+ ai 2 b2 j

+ ... + ain bnj = ∑aik bkj ,

(1.1)

к=1

где i = 1,2,..., m,

j = 1,2,..., n.

Обозначается

С = АB .

Произведение матриц

АB определено только в том случае, когда

число столбцов матрицы

равно числу строк матрицы B

Пример.

Найти произведение матриц

− 1

= 4

5 .

2×3

− 1

3×2

Решение.

Для заданных матриц определено только произведение

АB :

1 2 0

− 1

1 2 + 2 4 + 0 0

1 (− 1)+ 2 5 + 0 3

AB =

3 2 + (− 1) 4 + 1 0 3 (− 1)+ (− 1)

3 − 1 1

5 + 1 3

− 5

Для квадратных матриц одного размера в общем случае

АB ≠ BA .

Пример.

Найти произведение матриц

2×3

− 1

2×2

Решение.

0 3

1 0 + 2 4 1 3 + 2 5

8 13

AB =

− 1 1

4 5

− 1 0 + 1 4 − 1 3 + 1 5

но

0 3

0 1 − 3 1

0 2 + 3 1

− 3 3

BA =

5 − 1 1

4 1 − 5 1

4 2 + 5 1

− 1 13

Отметим, что существуют матрицы со свойством

АB = BA .

Такие

матрицы называются коммутирующими.

Транспонирование

	Определение 1.12. Для матрицы				A размера m × n		транспони-
рованной называется матрица				C	размера	n × m	c элементами
с	= a	ji	. Обозначается C = AT .
ij		ji

Пример. Найти матрицу, транспонированную по отношению к матрице

A	1	2	0
A	=			.
2×3		− 1	1
	3	− 1	1

Решение.

Для транспонирования матрицы A необходимо переставить мес-

тами строки и столбцы: 1-й столбец заменить 1-й строкой, 2-й столбец заменить 2-й строкой и т.д. Таким образом

	1	2 0	T		1	3

AT =	3	− 1 1		= 2		− 1 .
					0	1

Свойства операций над матрицами
1.	A + B = B + A					(коммутативность сложения);

2.(A + B)+ C = A + (B + C ) (ассоциативность сложения);

3.A + O = A

4.A − A = O

5.1 A = A

6.(α β)A = α (βA)

7.(α + β)A = αA + βA

8.α(A + B)= αA + αB

9.α(AB)= (αA)B

10.A(B + C )= AB + AC

11.A(BC )= (AB)C

12.AE = EA = A

13.AO = EO = O

14.(A + B)T = AT + BT

15.(AB)T = BT AT

(сложение с нулевой матрицей); (вычитание матрицы из самой себя); (умножение матрицы на единицу); (ассоциативность относительно произведения чисел); (дистрибутивность относительно суммы чисел); (дистрибутивность относительно числового множителя); (ассоциативность относительно произведения на число); (дистрибутивность); (ассоциативность);

(произведение с единичной матрицей); (произведение с нулевой матрицей);

(транспонирование суммы матриц);

(транспонирование произведения матриц).

Элементарные преобразования матриц

К элементарным преобразованиям матриц относятся следующие действия над ее элементами:

1)перестановка двух строк (столбцов);

2)умножение всех элементов строки (столбца) на число, отличное от нуля;

3)прибавление ко всем элементам одной строки (столбца) соответствующих элементов другой строки (столбца), умноженных на одно и то же число.

1.3. ОПРЕДЕЛИТЕЛИ Определитель второго порядка

Пусть дана квадратная матрица	A	2-го порядка:
a	a
A = 11	12	.
	a22
a21	a22
Определение 1.13. Определителем второго порядка матрицы			A

называется число, равное разности произведения элементов главной и произведения элементов побочной диагонали матрицы: a11a22 − a12 a21 .

Определитель второго порядка обозначается следующим образом:

			= det A =	a11	a12	.
				a21	a22
Пример. Вычислить определитель матрицы							1	4
Пример. Вычислить определитель матрицы							A =		.
								3
							2	3
Решение.
		4
=	1	4	= 1 3 − 4 2 = −5 .
	2	3

Определитель третьего порядка

Рассмотрим квадратную матрицу A		3-го порядка:
a	a	a
11	12	13
A = a21	a22	a23	.
	a32	a33
a31	a32	a33

Определение 1.14. Определителем третьего порядка матрицы A

называется следующая алгебраическая сумма произведений элементов определителя:

= a11a22 a33 + a12 a23a31 + a13a21a32 − a13a22 a31 − a12 a21a33 − a11a23a32 .

Схематично формулу для вычисления определителя третьего порядка можно изобразить так:

o	o	o	o	o	o		o

= o	o + o		o + o			o − o

o o			o o	o		o
					o	o

				− o	o	.
				o		o

o	o

o −

oo −

При использовании схемы для вычисления определителей следует обращать внимание на знаки слагаемых суммы.

Пример. Вычислить определитель матрицы

	1	2	0

А= − 2		3	− 1	.
	0	2
	0	2	− 3

Решение.

При вычислении определителя воспользуемся вышеприведенной схемой.

	1	2	0
=	− 2	3	− 1	= 1 3 (−3) + 2 (−1) 0 + 0 (−2) 2 − 0 3 0 −
	0	2	− 3

− 2 (−2) (−3) − 1 (−1) 2 = −9 + 0 + 0 + 0 − 12 + 2 = −19 .

Вычисление определителей n-го порядка

Рассмотрим квадратную матрицу A n-го порядка:

a11

A= a21an1

a		a
	12		1n
a 22
a 22		a2 n .
a		a
	n 2		nn

	Матрице A можно поставить в соответствие некоторое число, ко-
торое будем называть определителем матрицы					n -го		порядка и обозна-
чать	.	Рассмотрим элемент	aij	квадратной матрицы A , где
i = 1,2,..., n;		j = 1,2,..., n. Вычеркнем		i -ю строку и			j -й столбец мат-
рицы. Останется матрица порядка			n − 1. Обозначим ее определитель
чрез	Dij	и будем его называть минором элемента aij .
	Определение 1.15. Величина		A	= (−1)i + j D		называется алгебраи-
			ij	ij
ческим дополнением элемента aij ,			i = 1,2,..., n;		j = 1,2,..., n.

1 / 61 2 3 4 5 6 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете Линейная алгебра

#
09.06.2015233.64 Кб21Algebra2.pdf
#
09.06.2015604.94 Кб34алгебра 2 семестр.pdf
#
09.06.2015465.58 Кб21ЛинАлгебра.pdf
#
29.03.2016261.08 Кб28Линейное векторное пространство.pdf