Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Саратовский государственный университет им. Н.Г. Чернышевского

Предмет:

Линейная алгебра

Файл:

ЛинАлгебра

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

09.06.2015

Размер:

465.58 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 65 6 > Следующая >>>

Вычислим элементы

тогда

− 1

1− 1

Вычислим элементы

2-го столбца ( j = 2; i = 2,3,4 ): bi 2 = ai 2 − bi1c12 ,

		1	1	1		3
0	−
		2	2	2		2
2
	c23		c24	c25	c26		.
3	b		c	c	c	36
	33		34	35
− 2	b43		b44	c45	c46

2-й строки ( i = 2; j = 3,4,5,6 ): c2 j = a2 j − b21c1 j ,

b22

тогда

					1		1
		2	0	−
					2		2

		− 1	2		5		−	3

					4		4
		1	3	b33			c34

		− 1	− 2	b43			b44

Проведем контроль 2-й строки:							1 +
Вычислим	элементы					3-го

bi3 = ai3 − (bi1c13 + bi 2c23 ) , тогда

	1	3

	2	2
	2	2
	9	15
				.
	4	4		.
	c	c
	35	36
	c45	c46
5			3		9
	+ −			+
	+ −			+
4			4		4

столбца

=15 .

( j = 3; i = 3,4 ):

				1
2	0	−
2	0	−		2
				2
− 1	2			5


				4
1	3	−	17
			17

				4
− 1	− 2			4
− 1	− 2			4

		Вычислим	элементы
c	=	a3 j − (b31c1 j	+ b32c2 j )	, тогда
c	=			, тогда
3 j		b33
		b33

	1			3
	1	1		3

	2	2		2
	2	2		2
−	3		9	15
−	4		4		4	.
	4		4		4	.
c34		c35		c36
c34		c35		c36
b44		c45		c46
b44		c45		c46
3-й			строки				( i = 3; j = 4,5,6 ):


					1				1			3
					1				1	1		3
	2	0	−
	2	0	−		2				2	2		2
					2				2	2		2
	− 1	2				5	−		3		9	15
	− 1	2				4	−		4		4		4	.
						4			4		4		4	.
	1	3	−	17			−	11		5		11
				17				11		5		11

	− 1	− 2			4		17			17		17
	− 1	− 2				4 b44				c45		c46
Проведем контроль вычислений 3-й строки: −															11	+	5	=	11	− 1.
Проведем контроль вычислений 3-й строки: −																+		=		− 1.
														17		17		17

Вычислим										элементы																4-го			столбца:
b = a		− (b c			+ b			c		+ b c		) =				27		,			и		элементы 4-й						строки
b = a	44	− (b c			+ b			c	24	+ b c	34	) =						,			и		элементы 4-й						строки
44	44	41	14			42			24	43	34			17
														17
( i = 4;	j = 5,6 ):		c			=	a4 j − (b41c1 j + b42c2 j													+ b43c3 j )						, тогда
( i = 4;	j = 5,6 ):		c	4 j		=																				, тогда
				4 j									b44
													b44
														1						1		1			3
									2	0	−
									2	0	−			2						2		2			2
														2						2		2			2
								− 1		2					5			−		3			9		15
								− 1		2					4			−		4			4		4
															4					4			4		4
									1	3	−		17				−		11			5			11			.
													17						11			5			11

														4				17				17			17
								− 1		− 2				4				27				− 2		− 1
								− 1		− 2				4								− 2		− 1
																		17
Проведем контроль вычислений 4-й строки:																											− 2 = −1 − 1.

Обратный ход

x4 = c45 = −2, y4 = c46 = −1.
Контроль вычислений дает							1 + x4 = y4 .
		5				11
x3 = c35 − c34 x4 =			− −				(−2) = −1.
		17				17

	11			11
y3 = c36 y4 =		−	−		(−1) = 0.
	17			17

Контроль вычислений:		1 + x3 = y3 .
		9			5							9
x2 = c25 − c23 x3 − c24 x4	=		−				(−1) −			−			(−2) = 2,
x2 = c25 − c23 x3 − c24 x4	=	4	−		4		(−1) −			−		4	(−2) = 2,
		4			4							4
		15				5					3
y3 = c26 − c23 y3 − c24 y4	=			−				0 − −				(−1) = 3.
y3 = c26 − c23 y3 − c24 y4	=	4		−		4		0 − −				(−1) = 3.
		4				4					4
Контроль вычислений:	1 + x2 = y2 .
							1							1						1
x1 = c15 − c12 x2 − c13 x3 − c14 x4 =									− 0 2		− −					(−1)			−		(−2)	= 1,
x1 = c15 − c12 x2 − c13 x3 − c14 x4 =							2		− 0 2		− −					(−1)			−	2	(−2)	= 1,
							2							2						2
							3								1				1
y1 = c16 − c12 y2 − c13 y3 − c14 y4 =									− 0 3 − −								0	−		(−1) = 2.
y1 = c16 − c12 y2 − c13 y3 − c14 y4 =							2		− 0 3 − −								0	−	2	(−1) = 2.
							2								2				2
Контроль вычислений:	1 + x1 = y1.
Решение системы – x1 = 1, x2 = 2, x3 = −1, x4 = −2.

2.7. МЕТОД ЖОРДАНА - ГАУССА

Метод Жордана – Гаусса позволяет после специальных преобразований элементов матрицы системы сразу находить значения неизвестных.

Пусть дана система m линейных уравнений с n

неизвестными:

a x + a x

+ K + a

= a

11 1

a21x1 + a22 x2 + K + a2n xn = a2n +1 ,

(2.23)

+ am2 x2 + K + amn xn = amn +1,

am1 x1

где

aij – известные числа,

x j – искомые неизвестные.

В матрице

этой системы выберем отличный от нуля элемент

aqp .

Этот элемент называется разрешающим элементом, p-й столбец

матрицы A – разрешающим столбцом, а

q-я

строка – разрешающей

строкой. Преобразуем элементы матрицы

с помощью следующих

формул:

a′

= a

j = 1,2,..., (n + 1);

a′

= a

−

aip aqj

, i ≠ q,

i = 1,2,..., m; j = 1,2,..., (n + 1).

(2.24)

aqp

Новая система уравнений с матрицей

A′ будет иметь вид

a′

x + a′

+ K + a′

= a′

11 1

1 p

a′

x + a′

+ K + a′

= a′

21 1

2 p

2n +1

+ a′

+ K + a′

= a′

(2.25)

a′

q1 1

qn +1

a′

x + a′

+ K + a′

= a′

m1 1

mn +1

В полученной системе

элементы

q-й с троки расширенной матри-

цы,

совпадают с

q-й

строкой расширенной матрицы исходной системы

(2.23), а элементы

p-го

столбца матрицы

A′ ,

за исключением

a′ ,

равны нулю. Следует отметить, что системы (2.23) и (2.25) одновременно совместны или несовместны. В случае совместности эти системы равносильны, то есть их решения совпадают.

Для определения элемента a′	матрицы	A′ полезно знать прави-
ij
ло прямоугольника. Для этого рассмотри 4 элемента матрицы A
Преобразующийся элемент aij		aip
aqj		apq – разрешающий элемент
Для того чтобы получить элемент a′ ,		необходимо из элемента
	ij

aij вычесть произведение элементов, расположенных в противоположных

вершинах прямоугольника:			aip	и	aqj ,	деленное на разрешающий
элемент a pq		(ср. (2.24)).
Аналогичным образом можно преобразовать систему (2.25), приняв
за разрешающий элемент			матрицы		A′	элемент a′ ≠ 0 , причем
						sr
s ≠ q,	r ≠ p .	После этого преобразования все коэффициенты при xr ,
кроме	a′ ,	обратятся в нуль. Полученная система опять может быть пре-
	sr

образована и т.д. Если ранг системы равен числу неизвестных, то после ряда преобразований придем к системе уравнений вида

b1x1 = c1,b2 x2 = c2 ,

bn xn = cn ,

из которой находятся значения неизвестных. В этом методе удобно в качестве разрешающего элемента выбирать элемент, равный единице.

Таким образом, при решении СЛАУ методом Жордана-Гаусса необходимо выполнить следующие действия:

1)выбрать отличный от нуля разрешающий элемент (удобнее выбрать равный единице, если такой имеется);

2)в преобразованной матрице разрешающую строку переписать без изменения;

3)все элементы разрешающего столбца, кроме самого разрешающего элемента, заменить нулями;

4)все остальные элементы преобразовать по правилу прямо-

угольника.

Примеры. Решить СЛАУ, используя метод Жордана – Гаусса.

	x + x				− 3x + 2x						= 6,
	1	2			−		3			4	= − 6,
	x − 2x				−			x			= − 6,
1.	1		2						4
	x2 +						x3 + 3x4 = 16,
2x − 3x				2		+ 2x		3			= 6.
	1			2				3

Решение.

Расширенная матрица системы с контрольным столбцом имеет вид

	1	1	− 3	2		7
					6

1 − 2			0	− 1	− 6	− 8
	0	1	1	3	16		.
						21
		− 3	2	0	6	7
2

Примем за разрешающий элемент коэффициент при x1 в первом

уравнении. Перепишем без изменения разрешающую строку таблицы, а все элементы 1-го столбца, кроме разрешающего, заменим нулями. При-

менив правило прямоугольника, преобразуем все остальные элементы, включая элементы контрольного столбца:

	1	1	− 3	2		7
					6

0		− 3	3	− 3	− 12	− 15
	0	1	1	3	16	.
						21
		− 5	8	− 4	− 6
0						− 7

Отметим, что в контрольном столбце получаются суммы элементов соответствующих строк. Разделив на –3 элементы 2-й строки, получим матрицу:

	1	1	− 3	2		7
					6
			− 1
0		1		1	4	5
	0	1	1	3	16	.
						21
		− 5	8	− 4	− 6
0						− 7

Примем за разрешающий элемент 2-й строки 2-го столбца. 1-й столбец перепишем без изменения, элементы 2-го столбца, кроме разрешающего, заменим нулями, 2-ю разрешающую строку перепишем без изменения, остальные элементы преобразуем по правилу прямоугольника:

1 0		− 2	1		2	разделим		1 0		− 2	1	2	2
				2
		− 1 1								− 1
0 1				4	5			0 1			1	4	5
	0 0	2	2	12	16	→ элементы	3 - й	→	0 0	1	1	6	8	.

						строки на	2

0 0		3 1		14	18			0 0		3 1		14	18

Преобразуем элементы, приняв за разрешающий элемент 3-го столбца 3-й строки, и проведем контроль вычислений

1 0 0		1			2			разделим							1 0 0 1		2	2
1 0 0		1	2		2										1 0 0 1		2	2

0 1 0		1	4		5				элементы						0 1 0 1		4	5
	0 0 1	1	6		8	→			элементы			4 - й			→	0 0 1 1	6	8
	0 0 1	1	6		8											0 0 1 1	6	8
								строки на					− 2
		− 2	− 4	−				строки на					− 2
0 0 0		− 2	− 4	−	6										0 0 0 1		2	3
	Примем за разрешающий элемент 4-й строки 4-го столбца и преоб-
разуем элементы матрицы
							1	0	0	0			9
							1	0	0	0	8		9

					0			1	0	0	6		7
							0	0	1	0	4		5	.
							0	0	1	0	4		5
								0	0	1	2
					0			0	0	1	2		3

Значения элементов контрольного столбца показывают правильность вычислений. В результате система уравнений примет вид

								1 x1 + 0 x2 + 0 x3 + 0 x4 = 8,
									x1 +1 x2 + 0 x3 + 0 x4 = 6,
								0	x1 +1 x2 + 0 x3 + 0 x4 = 6,
									x1 + 0 x2 + 1 x3 + 0 x4 = 4,
								0	x1 + 0 x2 + 1 x3 + 0 x4 = 4,
									x1 + 0 x2 + 0 x3 + 1 x4 = 6.
								0	x1 + 0 x2 + 0 x3 + 1 x4 = 6.
Отсюда	x1 = 8,		x2 = 6,					x3 = 4, x4 = 2.
		x + x				− 2x + x						=1,
		1		2				3		4		= 0,
		x − 3x				+ x + x						= 0,
2.		1			2			3		4
		4x1 − x2 − x3 − x4 = 1,
	4x + 3x					2	− 4x − x				4	= 2.
		1				2		3			4

Решение.

Расширенная матрица системы с контрольным столбцом имеет вид

	1	1	− 2	1		2
					1
		− 3
1			1	1	0	0
	4	− 1	− 1	− 1	1	2	.

		3	− 4	− 1	2	4
4

Преобразуем матрицу, выбрав разрешающим элемент 1-й строки и 1-го столбца:

1		1	− 2	1			2		изменим						1	1	− 2	1	1	2
1		1	− 2	1	1		2		изменим						1	1	− 2	1	1	2
										знаки в
0		− 4	3	0	− 1	− 2				знаки в				0		− 4	3	0	− 1	− 2
	0	− 5	7 − 5		− 3	− 6			→	4 - й			→		0 − 5		7 − 5		− 3	− 6
	0	− 5	7 − 5		− 3	− 6				4 - й					0 − 5		7 − 5		− 3	− 6

		− 1	4	− 5	− 2	− 4				строке					0	1	− 4	5	2
0		− 1	4	− 5	− 2	− 4				строке					0	1	− 4	5	2	4
		За разрешающий примем элемент 4-й строки 2-го столбца и преобра-
зуем элементы матрицы, осуществляя контроль вычислений:
					1 0					2 − 4		− 1		− 2
					1 0					2 − 4		− 1		− 2
									− 13
					0			0	− 13		20		7		14
						0		0	− 13		20		7		14	.
						0		0	− 13		20		7		14
								1	− 4		5		2
					0			1	− 4		5		2		4
		Вычтем из 3-й строки 2-ю и вычеркнем 3-ю строку, все элементы ко-
торой – нули:
					1		0			2 − 4		− 1		− 2
					1		0			2 − 4		− 1		− 2
									− 13
					0		0		− 13		20		7		14 .
						0		1	− 4		5		2		4
						0		1	− 4		5		2		4

Примем за разрешающий элемент 2-й строки 4-го столбца матрицы и проведем очередную серию преобразований, проверяя вычисления по контрольному столбцу:

	1	0	− 0,6	0		0,8
					0,4
			− 13
0		0		20	7	14	.
	0	1	− 0,75	0	0,25	0,5

	Матрица системы имеет ранг, равный 3, следовательно, система со-
держит три базисных неизвестных															x1 , x2			и	x4 и одно свободное неиз-
вестное			x3 . Получаем систему уравнений
							1 x1 + 0 x2 − 0,6x3 + 0 x4 = 0,4,
								x1				+ 0 x2 − 13x3 + 20x4 = 7,
						0		x1				+ 0 x2 − 13x3 + 20x4 = 7,
							0	x1				+1 x2 − 0,75x3 + 0 x4 = 0,25.
							0	x1				+1 x2 − 0,75x3 + 0 x4 = 0,25.
	Отсюда
			x1 = 0,4 + 0,6x3 ,									x2 = 0,25 + 0,75x3 ,							x4 = 0,35 + 0,65x3 .
	Полагая				x3 = t ,				где				t − произвольное число, получим однопара-
																	x		= 0,4 + 0,6t,
метрическое решение исходной системы:																	1
метрическое решение исходной системы:																	x2		= 0,25 + 0,75t,
																			= 0,35 + 0,65t.
																	x3		= 0,35 + 0,65t.
			6x1 − 5x2 + 7 x3 + 8 x4 = 3,
					+11x2 + 2x3							+ 4x4 = 6,
	3.		3x1		+11x2 + 2x3							+ 4x4 = 6,
	3.				+ 2x2 + 3x3 + 4x4 = 1,
			3x1		+ 2x2 + 3x3 + 4x4 = 1,
				x	+ x	2	+		x		3		= 0.
				1		2					3
	Решение.
	Расширенная матрица системы с контрольным столбцом имеет вид
												6	− 5	7	8	3		19
												6	− 5	7	8	3		19

										3			11	2	4	6		26
												3	2	3	4	1			.
												3	2	3	4	1		13
												1	1	1	0	0
												1	1	1	0	0		3
	Выберем разрешающим элемент 4-й строки и 1-го столбца и преоб-
разуем матрицу элементов, проводя контроль вычислений:
		0	− 11		1	8						1
		0	− 11		1	8			3			1
					− 1
	0			8	− 1	4			6			17
		0		− 1	0	4			1			4	(разрешающий –1-й элемент 3-го столбца)
		0		− 1	0	4			1			4
				1	1	0			0
	1			1	1	0			0			3
	0	− 11		1	8			3				1
	0	− 11		1	8			3				1
		− 3
0		− 3		0	12			9		18			(изменим знаки элементов 3-й строки
→			− 1										(изменим знаки элементов 3-й строки
	0		− 1	0	4			1				4	на противоположные)
			1	0	− 8		− 3
1			1	0	− 8		− 3					2

	0	− 11		1	8						1
	0	− 11		1	8		3				1
		− 3
0		− 3		0	12		9				18
→											(разрешающий –3-й элемент 2-го столбца)
	0		1 0 − 4				− 1			− 4
			1	0	− 8		− 3
1			1	0	− 8		− 3				2
0		0 1 − 36				− 8		− 43
0		0 1 − 36				− 8		− 43

0		0	0		0		6				6
→	0	1	0 − 4			− 1					.
	0	1	0 − 4			− 1		− 4
		0	0		40		9
1		0	0		40		9				50
		В результате система уравнений примет вид
							0 x1 + 0 x2 + 1 x3 − 36x4 = − 8,
									x1 + 0 x2 + 0 x3 + 0 x4 = 6,
							0		x1 + 0 x2 + 0 x3 + 0 x4 = 6,
									x1 +1 x2 + 0 x3 − 4x4 = − 1,
							0		x1 +1 x2 + 0 x3 − 4x4 = − 1,
											+ 0 x2 + 0 x3 + 40x4 = 9.
							1 x1				+ 0 x2 + 0 x3 + 40x4 = 9.

Очевидно, что второму уравнению не удовлетворяют никакие значения неизвестных. Следовательно, полученная система уравнений, а, следовательно, и исходная система, несовместны.

Контрольные вопросы к главе 2

1.Какая система называется системой линейных алгебраических уравнений?

2.Какая СЛАУ называется однородной; неоднородной?

3.Что называют решением СЛАУ?

4.Какая СЛАУ называется совместной; несовместной?

5.Какая СЛАУ называется определенной; неопределенной?

6.Какую матрицу называют матрицей системы?

7.Сформулировать теорему Кронекера-Капелли.

8.Может ли однородная СЛАУ иметь ровно одно решение? ровно два? ровно 17?

9.Может ли у неоднородной СЛАУ быть фундаментальная система решений?

10.Что представляют собой формулы Крамера?

11.В каком случае можно применять метод Крамера при решении СЛАУ?

12.В чем заключается метод Гаусса решения СЛАУ?

13.В чем отличие метода Гаусса от метода Жордана-Гаусса решения СЛАУ?

ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ

1.Найти линейные комбинации матриц.

	1.1.	3A − 2B ;					1		2		;	B =			0			1
	1.1.	3A − 2B ;			A =						;	B =						.
							3								1		−
							3		4						1		−	2
	1.2.	A − λE ;		A =			2				3
	1.2.	A − λE ;		A =							.
							3			−
							3			−	2
		2B − 5 A ;					0				2		4		B =				0		5	10
	1.3	2B − 5 A ;		A =										;	B =								.
											4										10	0
						− 6					4		0					− 15			10	0
						1 − 2							0						5		1 − 2

	1.4.	5 A − 3B ;			A =			3			5			1 ;		B = − 3					2	7 .
							− 1				2								4
							− 1				2		4						4		0 − 1
2.	Найти произведения матриц												AB		и	BA (если возможно).
	2.1.	1	2		;	B	=			0	− 1
	2.1.	A =			;	B	=						.
			4							1
		3	4							1		2
													5

	2.2.	A = (1	− 2		3		0);			B =		− 3
	2.2.	A = (1	− 2		3		0);			B =				.
													− 4

													1
							− 1							2		4
	2.3.		3		5		− 1			;
	2.3.	A =								;	B = − 3					0 .
				− 2				0
			2	− 2				0						5
														5		1
		− 2			3			1					1		− 2 − 3

	2.4.	A =	5		4			0 ;			B =			0	− 3				1 .
			2		− 1 − 5									4	− 4
			2		− 1 − 5									4	− 4				5
3.	Найти произведение матриц												( AB) C .
	3.1.		1	− 1		;					2			0	;				3 − 1
	3.1.	A =				;	B =								;	C =					.
																			2
		− 1			1					− 3				1					2		3
	3.2.	1	3		;	B	=	− 5					3	;	C =		1		3
	3.2.	A =			;	B	=							;	C =					.
			5								−								5
		2	5					2			−		1				2		5
								− 3							0				− 2		4	− 3	0
		A = (1	− 3);			B =		− 3				2			0		C =
	3.3.	A = (1	− 3);			B =										;	C =			0	2	5	− 2 .
									− 2				5	−
									− 2				5	−	1					3	− 1	2	4
																				3	− 1	2	4

			− 5			0	3				0
										3	0			− 2
	3.4.	A =	4			1 − 1								− 2
	3.4.	A =						; B = − 2			1 ;		C =		.
						− 3
				2		− 3	2							3
				1		5				4	3
				1		5	3
4.	Найти матрицу AT .
	4.1.	A =	1		3		4.2.		A = (1		− 2		3	0).
	4.1.	A =				.	4.2.		A = (1		− 2		3	0).
					5
			2		5
							0						1	− 2	0
		A =		1		2	0
	4.3.	A =					.		4.4.		A =		3	5	− 7 .
				− 1
				− 1		3	− 2					− 4		1	2
												− 4		1	2

5.Вычислить определители.

5.1.	1	2	;		1 − 3				;	− 2	3	;		1 − 5				;		2 3			.
5.1.	− 3 − 4		;		0	4			;	4 − 1		;		− 4			3	;		4	1		.
	− 3 − 4				0	4				4 − 1				− 4			3			4	1
	3 − 1 − 1						− 5			3 − 1						4			1		3
	3 − 1 − 1						− 5			3 − 1						4			1		3
5.2.	− 3	1	5	;				− 1		− 3	6		;			0		− 1				2		.
	2 − 2		4				− 10			0	0					2			1		− 1
	2 − 1		1 0					1		2 − 1				1			1				1	2			2
	2 − 1		1 0					1		2 − 1				1			1				1	2			2
5.3.	2	0	3 − 1			;			2 − 1		0			1	;			2 − 3				1			2	.
5.3.	3 − 1		2		3	;			− 1	1	− 2			2	;		1				1	3			2	.
	3 − 1		2		3				− 1	1	− 2			2			1				1	3			2
	3	1	6		1			1		4	1			1			− 1				1	5			3

6.Найти ранг матрицы.

		2	− 1	5	6

6.1.	A =	1	1	3	5 .
		1	− 5
		1	− 5	1 − 3
		1	1	3	− 7	1

6.2.	A =	2	− 1	1	6	− 4	.
		− 1	2	− 1	− 10	5
		− 1	2	− 1	− 10	5
		1	1	3	− 7	1

		2	− 1	1	6	− 4
6.3.	A =	− 1	2	− 1	− 10	5	.
		− 1	2	− 1	− 10	5
		2	− 1	2	5	− 4
		2	− 1	2	5	− 4

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 65 6 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете Линейная алгебра

#
09.06.2015233.64 Кб21Algebra2.pdf
#
09.06.2015604.94 Кб34алгебра 2 семестр.pdf
#
09.06.2015465.58 Кб21ЛинАлгебра.pdf
#
29.03.2016261.08 Кб28Линейное векторное пространство.pdf