Семинар n 6

Оценка	2	3	4	5
10 «А»	2	0	10	3
10 «Б»	1	9	10	0

Тема: «Характеристики положения вариационного ряда».

Одной из задач психолого-педагогического исследования является сравнение полученных результатов.

Например, после проведения контрольной работы мы хотим знать какой класс справился лучше.

Таким образом возникает необходимость в сравнении данных из нескольких вариационных рядов.

Пусть выборка задана своим вариационным радом.

Измеряемая величина xi	x1	x2	…	xk
Частота mi	m1	m2	…	mk

Тогда выборочно средней будет называться величина, определяемая по формуле:

x̅ = x₁m₁ + x₂m₂ + … + x_km_k ,

m₁ + m₂ + … + m_k

x̅ = Σ_i=1 xi mi

n

где n = m₁ + m₂ + … + m_k = Σ_i=1

Найдём выборочное среднее для каждого класса:

Для 10 «А» x̅ =2*2 + 3*7 + 4*10 + 5*3 = 80 = 3,64

2 + 7 + 10 + 3 22

Для 10 «Б» x̅ =2*1 + 3*9 + 4*10 + 5*1 = 74 = 3,52

1 + 9 + 10 + 1 21

Средняя величина, показывающая среднюю оценку. Можно сказать, что в 10 «А» средняя оценка за контрольную работу выше, чем в 10 «Б».

При этом следует учитывать:

1) учащиеся обоих 10 классов писали одну и ту же контрольную работу.

2) проверял работы один учитель.

В противном случае некорректно делать вывод о том, какой класс справился лучше.

Помимо выборочной средней, результаты характеризует медиана.

Медиана выборки – это такое значение измеряемой величины, которая разбивает выборку на две группы. Так, что суммой частот в каждой группе должны быть не менее ½.

Оценка (вариант)	2	3	4	5
Кол-во учащихся в 10 «А» и получивших такую оценку	2	7	10	3
Относительная частота	2_ 22	7_ 22	10_ 22	3_ 22

f_i = m_i , n = 22

n

Σ_i=1 f_i = 2 + 7 + 10 = 19 = 0,86 > 1 .

22 22 2

Σ_i=3 f_i = 10 + 3 = 10 + 3 = 13 = 0,59 > 1 .

22 22 22 2

Т.о. для 10 «А» класса медианой является оценка «4». 10 «А» можно разделить на 2 группы, причём суммы относительных частот в группах будут равны.

Аналогичным образом 10 «Б» можно разбить на две группы по 10 и 11 человек.

Σ_i=1 f_i = 1 + 9 + 10 = 0,95 > 1 .

21 2

Σ_i=3 f_i = 10 + 1 = 0,52 > 1 .

21 2

Однако число 4 тоже является медианой, так как:

Σ_i=1 f_i = 1 + 9 + 10 = 0,95 > 1 .

21 2

Σ_i=3 f_i = 10 + 1 = 0,52 = ½

21

Некоторые авторы считают невозможным наличие 2-х медиан и предлагают вычислять среднее арифметическое двух медиан.

Медиану рекомендуется применять в тех случаях, когда выборка содержит варианты, сильно отличающиеся от выборочного среднего. Кроме медианы можно использовать такую числовую характеристику, как мода.

Мода показывает какой вариант встречается в выборке наиболее часто. Для 10 «А» класса модой является оценка 4, потому что у неё самая большая частота в выборке.

По имеющимся данным можно найти средний балл за контрольную работу для обоих классов.

Способ N1: Обобщим имеющиеся данные в виде одного вариационного ряда.

Оценка (вариант)	2	3	4	5
Кол-во учащихся	2+1	7+9	10+10	3+1

x̅ = 2*3 + 3*16 + 4*20 + 5*4 = 3,58.

43

Воспользуемся формулой для выборочной средней. Ответ: 3,58.

Таким образом, средний балл в обоих классах оказался выше, чем в 10 «Б», но ниже, чем в 10 «А».

Способ N2: Если выборку можно разбить на несколько групп, например на школы, на классы, тогда выборочное среднее называется «групповое среднее».

Выборочное среднее может быть получено из групповых средних следующим образом:

x̅_B = Σ_i=1 x_i n_i

Σ_i=1 n_i

x̅_B = 3,64 * 22 + 3,52 *21 = 3,58

43

Средний балл для обеих групп нам известен.

Для 10 «А» = 3, 64. Для 10 «Б» = 3, 52.

Обоими способами мы получим одинаковый результат (3,58)

В 3-х школах провели ЕГЭ по математике, найдём средний результат для 3-х школ:

Средний балл	72	35	69
Кол-во учащихся	50	44	61

x̅_B = 72*50 + 85*44 + 69*61 = 74,5

50 + 44 + 61

x̅_B = 3,64 * 22 + 3,52 *21 = 3,58

43

x̅_B = 3600 + 3740 *4209 = 74,509

155

28.03.13