7.4. Прозрачные среды.

Рассмотрим теперь поведение диэлектрической проницаемости ε(ω) в области (в диапазоне частот) прозрачности среды, т.е. где электромагнитные волны распространяются в среде с небольшим затуханием. В этом случае мнимая часть ε^′′(ω) диэлектрической проницаемости отлична от нуля! но! очень мала, поэтому из-за последнего говорят, что в области прозрачности мнимой частью диэлектрической проницаемости можно пренебречь т.е. ε (ω) ≈ ε^′(ω).

В таком случае в формуле (7.19) взятие главного значения интеграла становится бессмысленным, т.к. x = ω фактически выпадает из области интегрирования. После этого интеграл можно дифференцировать по параметру ω, как обычный интеграл, не имеющий особенностей в подынтегральном выражении. Тогда, произведя дифференцирование выражения (7.19) по частоте ω, получим

≈= = , т.е.

= . (7.28)

Подынтегральное выражение в (7.28) во всей области интегрирования больше нуля (напомним, что ε^′′(ω) > 0 всегда), следовательно, как само значение интеграла, так и производная будут больше нуля

> 0. (7.21)

Последнее означает, что в области отсутствия поглощения (прозрачности) диэлектрическая проницаемость – монотонно возрастающая функция частоты. Такое поведение функции ε(ω) – ее возрастание с увеличением частоты ω, принято называть нормальной дисперсией. Если наоборот ε(ω) уменьшается с ростом частоты, то – аномальной дисперсией.

Если правую и левую части выражения (7.19) умножить на ω² , то аналогичным образом, в той же области частот (области прозрачности), после взятия производной получим другое неравенство,

[ω² (ε – 1)] = +ω² =, используя для (7.28)

= = =

[ω² (ε – 1)] = > 0,

поскольку, точно также в рассматриваемой области значения подынтегрального выражения всегда положительны. Вычислив производную [ω² (ε – 1)] = 2ω(ε – 1) + ω² < 0, получим следующее неравенство

> . (7.22)

Это неравенство более сильное, чем неравенство (7.21) если диэлектрическая проницаемость ε < 1 или даже отрицательная (ε < 0).

Здесь сразу можно отметить, что неравенства (7.21) и (7.22) (и аналогичные для μ(ω)) автоматически гарантируют выполнение неравенства u < c , т.е. групповая скорость u (скорость распространения энергии или волнового пакета) электромагнитной волны в среде всегда меньше ее скорости в вакууме c (скорости света в вакууме). Например, пусть среда диэлектрик, тогда магнитную проницаемость можно положить равной единице μ = 1 и показатель преломления среды n будет равен n = и вводя n вместо ε в неравенства (7.21) и (7.22), получим:

из (7.21) > 0 → 2n > 0 → т.к. здесь ε и, соответственно n > 1, имеем > 0 → т.к. ω > 0, то ω > 0 → ω + n > n → > n,

итак, > n; (7.23)

из (7.22) = 2n > → ω >→ω +n > , и

окончательно имеем > . (7.24)

Неравенство (7.24) работает для ε < 1 и, соответственно для n < 1. Тогда из выражения для групповой скорости u = = , гдеk – волновой вектор, модуль которого равен k = =n и неравенств (7.23) и (7.24) получаем, соответственно, два неравенства: u < c/n (для n >1) и u < cn (для n < 1). Из этих неравенств видно, что u < c как при n >1, так и при n < 1. Эти неравенства так же показывают, что групповая скорость всегда больше нуля u > 0, т.е. она направлена в туже сторону, что и волновой вектор.

Вернемся к рассмотрению поведения ε в области прозрачности. Пусть область слабого поглощения простирается в некотором широком диапазоне частот от ω₁ до ω₂ , т.е. ω₂ >> ω₁ и рассмотрим частоты ω (при которых определяем ε (ω)), лежащие в этом диапазоне, так что ω₁ << ω << ω₂. Тогда область интегрирования в (7.19) разбивается на две части: x < ω₁ и x > ω₂. В первой из них можно пренебречь в знаменателе подынтегрального выражения x по сравнению с ω, а во второй, наоборот, – ω по сравнению с x и тогда:

ε (ω) ≈ ε^′( ω) = 1+ – . (7.25)

Область интегрирования от ω₁ до ω₂ отсутствует, т.к. в ней полагаем ε^′′(ω) ≈ 0 и, соответственно, считаем, что интеграл по этому диапазону примерно равен нулю (точнее он, просто, значительно меньше всех трех слагаемых в правой части выражения (7.25) – единицы и двух интегралов). Оба интеграла в (7.25) имеют положительные значения, как и все значения в подынтегральных выражениях, поэтому функция ε(ω) в рассматриваемой области имеет вид a – b/ω², где a и b положительные постоянные. Вторую из них можно выразить через силу осцилляторов N₁

N₁ = , ответственных за поглощение в области от0 до ω₁ (в соответствии с (7.23) и (7.24)) и тогда

ε (ω) = a – . (7.26)

Из последнего выражения следует, что в достаточно широко области слабого поглощения диэлектрическая проницаемость, вообще говоря, может проходить через ноль. Однако в этой связи необходимо отметить (напомнить), что прозрачной в буквальном смысле слова является среда, в которой ε(ω) не только вещественно, но и положительно, т.к. при отрицательном ε волна затухает в глубь среды, хотя в ней и не происходит истинной диссипации энергии (энергия электромагнитного поля не переходит в другие виды энергий, например в тепло).

Для частоты, при которой ε = 0 , индукция D тождественно обращается в нуль и уравнения Максвелла допускают существование переменного электрического поля, удовлетворяющего одному лишь уравнению rot E = 0 при равном нулю магнитном поле. То есть, в этом случае возможно существование продольных электрических волн.

Вернемся к обсуждению дисперсии. Пусть, наконец, в широкой области прозрачности имеется узкая область поглощения (ее называют – «линия» поглощения) вокруг некоторой частоты ω₀. «Линия» поглощения – полоса частот Δω (в рассматриваемом случае она равна γ), центральная частота которой ω₀, соответствует одному из возможных переходов, например атома, из одного энергетического состояния 𝓔₁ в другое 𝓔₂ (𝓔₂ > 𝓔₁), при этом ω₀ = . Рассмотрим окрестность этой частоты, удовлетворяющую условию

γ << |ω – ω₀| << ω₀, (7.27)

где γ – ширина линии. В этой области (в полосе частот γ) в подынтегральном выражении в (7.17) можно заменить x на ω₀ везде, кроме быстроменяющейся функции ε^′′(ω). Тогда получим:

ε (ω) ≈ ε^′( ω) ≈ , (7.28)

где интегрирование производится по линии поглощения. В этой области выражение (7.28) определяет фактически только добавку к итоговому значению ε(ω), вычисляемой по формуле (7.25). Главного значения интеграла мы не пишем, т.к. нашими действиями мы исключили особую точку ω = ω₀ в области интегрирования γ. Однако из выражения (7.28) мы, на первый взгляд, видим, что при ω = ω₀ добавка к ε (ω) у нас обращается в бесконечность. Эта особенность разрешается, если учесть условие (7.27) (линия поглощения имеет конечную ширину γ, а не бесконечно узкую, поэтому и ε^′′(ω₀) тоже имеет конечное значение). Поэтому при расчете ε (ω), когда ω лежит в полосе частот γ, в формуле (7.28) разность частот ω₀ – ω (в знаменателе) заменяется на γ/2, если ω < ω₀ и на – γ/2, если ω > ω₀. Поэтому добавка к ε(ω), (точнее ее модуль) также имеет конечный максимум в полосе γ. Причем их два – слева от ω₀ (ω < ω₀), он положительный и справа (ω > ω₀), – отрицательный, а в центре при ω = ω₀ добавка равна нулю. Эта картина поведения ε^′′(ω) и добавки к ε(ω), рассчитываемой по формуле (7.28) от частоты в полосе частот γ приведена на рис.7.1. Из рисунка видно, что Рис.7.1

в середине области линии поглощения в интервале частот ω от ω₀ – γ/2 до ω₀ + γ/2 мы имеем аномальную дисперсию, а за его пределами, и слева, и справа – нормальную дисперсию. Но при этом отметим, что ширина γ этих линий очень узкая γ << ω₀. Таких линий в области прозрачности может быть много. Они отличаются друг от друга интенсивностью линии поглощения (максимальным значением ε^′′(ω_0i)) и их шириной γ_i.

Таким образом, из всего приведенного выше анализа аналитических свойств функции ε(ω) = ε^′(ω) + i ε^′′(ω) можно привести следующую картину возможного поведения вещественной и мнимой частей диэлектрической проницаемости, например диэлектрика, при изменении частоты от 0 и до бесконечности, точнее до очень высоких частот ω (до ω << 2πс/a, напомним – это условие применимости макроскопических уравнений Максвелла). Эта картина приведена на рис.7.2. Из нее видно, что

Рис.7.2

при частотах 0 ≤ ω < 2πυ/a (это грубо точнее << 2πυ/a) релаксационные процессы успевают отслеживать изменение поляризации Р диэлектрика (намагниченности …) за изменением напряженности поля Е и, соответственно, здесь вещественная часть диэлектрической проницаемости ε^′(ω) остается постоянной и равной ε₀ –диэлектрической проницаемости в случае статического плоя, а ее мнимая часть ε^′′(ω) = 0 (т.е. здесь ε(ω) = ε₀). При частотах больших ω > 2πυ/a (опять грубо) релаксационные процессы перестают успевать отслеживать изменение поляризации Р за изменением Е (можно сказать, что Р начинает отставать по фазе за изменением Е т.е. если закон изменения последнего записать как Е = Е₀cos(ωt), то для Р будет Р = Р₀cos(ωt – δ₁), соответственно и D = Е + 4πР = D₀cos(ωt – δ), т.е. тоже отстает по фазе от Е). В результате появляются потери на переполяризацию (перемагничивание…) диэлектрика (как в петле гистерезиса, только в области малых полей, где имеется линейность) и, соответственно, мнимая часть ε^′′(ω) становится отличной от нуля. С ростом частоты запаздывание δ₁ для Р и δ для D увеличивается и увеличивается ε^′′(ω), а с ней и ε^′(ω) в соответствии с уравнением (7.19). При подходе к области прозрачности ε^′′(ω) быстро падет и становится примерно равной нулю (но все же больше нуля). Далее мы попадаем в область прозрачности (интервал частот от ω₁ до ω₂), если она есть, в которой имеется несколько линий поглощения разной интенсивности. В пределах всей области прозрачности между линиями поглощения ε^′(ω) растет, а в пределах каждой линии поглощения делает зигзаг, как на рис.7.1, и в близи центра каждой линии мы имеем аномальную дисперсию. При этом после прохождения каждой линии величина ε^′(ω) оказывается меньше чем она была непосредственно перед подходом к линии поглощения ( т.е. имеем отрицательный перепад в значении ε^′(ω)). Этот перепад связан с тем, что линия поглощения, как уже отмечалось ранее, это соответствующий переход атома из одного энергетического состояния в другое и ему присущ определенный электрон, который и называют дисперсным. Когда ω < ω₀ этот дисперсный электрон дает вклад в нормальную дисперсию (в слагаемое а выражения (7.25)), а после прохождения лини ω > ω₀, наоборот, начинает давать вклад в отрицательную дисперсию (в слагаемое b выражения (7.25)). Эта картина соответствует поведению фазы вынужденных колебании в колебательном контуре – отставание и опережение фаза при ω < ω₀ и ω > ω₀, соответственно. Размах зигзага и величина перепада пропорциональны интенсивности (максимуму ε^′′(ω₀ в центре линии)). При таком изменении, где то (на рисунке в самом конце области прозрачности) после очередного сильного зигзага ε^′(ω) может оказаться меньше единицы (на рисунке показано поведением ε^′₁(ω)) или даже меньше нуля (поведение ε^′₂(ω)). И далее если впереди (при более высоких частотах) линий поглощения нет, значение ε^′(ω) растет, приближаясь к единице снизу по закону (7.26) ε(ω) = ε^′(ω) = 1 – . Здесь ε^′′(ω) становится примерно равной нулю, поэтому поставлено ε(ω) = ε^′(ω).

Плоская электромагнитная волна

Для монохроматических полей, меняющихся по закону ~ е^–iωt уравнения Максвелла (7.4), в отсутствии сторонних зарядов и токов проводимости имеют вид:

c rot H = – iω ε(ω) E, c rot E = iω μ(ω) H (7.29)

Эти уравнения уже сами по себе составляют полную систему, т.к. уравнения (7.3) (div D = 0 и div B = 0) следуют из них автоматически. (Для доказательства нужно взять дивергенцию от этих уравнений и тогда, например, div от первого уравнения дает – iωdivε(ω)E = cdiv(rotH) и т.к. div(rot H) = 0, H]) = 0 (результат векторного произведения H] перпендикулярен и, соответственно, их скалярное произведение равно нулю), получаем, учитывая, что ε(ω)E = D, div D = 0). Таким образом, уравнения (7.29) не должны рассматриваться отдельно. Если теперь положить среду однородной, то по аналогии с выводом уравнений (1.8) (берем rot от уравнений, используем соотношение из векторной алгебры rot(rot a) ≡= ≡(²a = grad(div a) – ²a , исключаем в этих уравнениях Е или Н, используя (7.29) и используем условие отсутствия токов проводимости и сторонних зарядов) получим следующие уравнения (второго порядка) для монохроматических полей H и Е:

²H + εμ Н = 0 или, тождественно, т.к. ² ≡ Δ

ΔH + εμ Н = 0, ΔЕ + εμ Е = 0 . (7.30)

(Фактически для получения (7.30) в волновых уравнениях (1.8) – лекция 1, мы взяли (раскрыли) вторую производную по времени = –ω².)

Рассмотрим плоскую электромагнитную волну, распространяющуюся в неограниченной однородной среде. В плоской волне в вакууме зависимость поля от координаты дается волновым множителем вида е^ikr с вещественным волновым вектором k (k = ω/с =2π/λ, где λ – длина волны в вакууме). И поле, например Е (для Н аналогично), в плоской электромагнитной волне имеет вид

Е= Е₀ е^{–i (ωt–kr)} , (7.31)

где Е₀ – амплитуда (вектор, направление которого определяет поляризацию волны), а (ωt–kr) – фаза. Напомним, плоская волна – волна имеющая плоский фазовый фронт (фазовый фронт – геометрическое место точек в пространстве, в котором фаза волны постоянная, в (7.31) это плоскость перпендикулярная волновому вектору k) и значение Е постоянно на поверхности фазового фронта. При рассмотрении же распространения волн в материальных средах в общем случае (из-за наличия дисперсии – ε(ω) и μ(ω) комплексные значения) оказывается необходимым вводить так же и комплексные значения волновых векторов волн:

k = k^′ + ik^′′ ,

где k^′ и k^′′ – вещественные векторы.

Положив Е и Н в виде (7.31), после подстановки их в уравнения (7.29) и произведя дифференцирование по координатам, получим

ωμ Н = с[kЕ], ωε Е = – с[kН]. (7.32)

(rot Е = [ Е] = i[kЕ] (Е ~ е^{i kr}), второе аналогично) Выражения (7.32) в общем случае дают связь между компонентами электрического и магнитного полей. Исключив из этих двух соотношений (7.32) Е и Н, найдем следующее выражение для квадрата волнового вектора: (например из первого Н = с[kЕ] / ωμ, подставляем во второе → εμЕ = – [k[kЕ]] = (используя [а[вс]] = в(ас) – с(ав)) = – k(kЕ) + Е(k²) = Е(k²) (т.к. k перпендикулярен Е, то скалярное произведение (kЕ) = 0) и после сокращения Е окончательно имеем)

k² ≡ k^{′ 2} – k^{′′ 2} + 2 k^′ k^′′ = εμ . (7.33)

Из (7.33) видно, что вектор k может быть вещественным, только если ε и μ вещественны и положительны. Но даже в этом случае k может быть комплексным, если скалярное произведение векторов k^′ k^′′ = 0 (это соответствует, например, случаю полного внутреннего отражения волны на границе двух диэлектриков).

Теперь следует иметь в виду, что в общем случае комплексных волна может быть названа «плоской» лишь в условном смысле. Если записать, что

е^{i kr} = е^{i(k′ + ik′′)r} = е^{i k′r} е ^–ik′′r,

то видно, что плоскости перпендикулярные к вектору k^′, являются плоскостями постоянной фазы, а плоскости перпендикулярные вектору k^′′, в направлении которого происходит затухание волны, являются плоскостями постоянной амплитуды. Что же касается поверхностей постоянного значения самого поля, то они в общем случае вообще не будут плоскими. Такие волны называют неоднородными плоскими волнами, в отличие от обычных однородных плоских волн.

Умножив формулы (7.32) скалярно на волновой вектор k, получим

kЕ = 0 kН = 0. (7.34)

Из (7.34) следует, что Е и Н перпендикулярны k. Если же возвести любую из формул (7.32) в квадрат и использовать (7.33), то будем иметь

Е² = Н² (7.35)

Следует, однако, иметь в виду, что все три вектора k, Е и Н в соотношениях (7.34) и (7.35) комплексные, поэтому эти соотношения не имеют того наглядного смысла, который они имели бы в случае вещественных величин.

Пусть волна распространяется без затухания в однородной непоглощающей (прозрачной) среде. В этом случае волновой вектор вещественен и по величине равен

k = = n , (7.36)

где n = называется показателем преломления среды. Как электрическое, так и магнитное поля лежат в плоскости перпендикулярной к волновому вектору k (т.е. имеем чисто поперечную волну), при этом перпендикулярны друг к другу и связаны соотношением

Н = [lE], (7.37)

где l – единичный вектор в направлении k. Из (7.37) следует, что

εЕЕ^* = μНН^*

это, однако не означает равенства электрической и магнитной энергий (как в отсутствии дисперсии), поскольку последние даются другими выражениями (в отличие от известных вам в диэлектрической среде в отсутствии дисперсии, когда ε и μ являются вещественными постоянными: S = [EH] – плотность потока энергии (вектор Умова – Пойнтинга); изменение (в 1 секунду) энергии, сосредоточенной в единице объема тела, вычисляемой как div S = – (Е + Н) = , где изменение электромагнитной энергии U = (εЕ² + μН²)). Суммарную плотность электромагнитной энергии в этом случае можно привести к виду

= EE^* = EE^*. (7.38)

Скорость u распространения энергии (волнового пакета, групповая скорость) волны в среде определяется известным выражением:

u = = . (7.39)

При этом u = , в соответствии с ее смыслом как скорости переноса энергии в волновом пакете, здесь – плотность энергии , даваемая формулой(7.38), а

= EE^* (7.40)

– среднее значение вектора Умова – Пойнтинга. В отсутствии дисперсии, когда показатель преломления не зависит от частоты, выражение (7.39) сводится просто к u = .

Теперь рассмотрим более общий случай распространения электромагнитной волны в поглощающей среде, причем волновой вектор имеет определенное направление, т.е. k^′ и k^′′ параллельны друг другу. Такая волна является плоской в буквальном смысле, т.к. поверхностями постоянных значений поля в ней являются плоскости, перпендикулярные к направлению распространения (они же – плоскости равных фаз – фронты), т.е. имеем однородную плоскую волу.

В этом случае можно ввести комплексную «длину» k волнового вектора, как k = k l, где l – единичный вектор в направлении k^′ и k^′′ и из (7.33) имеем

k = = (n + iæ). (7.41)

величину n называют показателем преломления, а æ – коэффициентом поглощения среды; последний определяет скорость затухания волны по мере ее распространения. Здесь необходимо заметить, что затухание волны не обязательно связано с наличием истинного поглощения; диссипация энергии имеет место лишь при комплексных ε или μ, а коэффициент æ может быть отличным от нуля и при вещественных (отрицательных) ε и μ.

Выразим величины n и æ через вещественную и мнимую части диэлектрической проницаемости, предполагая при этом, что μ = 1. Из равенства n² – æ² + 2inæ = ε = ε^′ + i ε^′′ имеем

n² – æ² = ε^′, 2næ = ε^′′.

Решая эти уравнения относительно n и æ, получим

n = , æ = . (7.42)

В частности, для металлов в области частот, где справедливо выражение ε(ω) = i (7.15) (это при малых частотах ω → 0) мнимая часть ε велика по сравнению с вещественной частью и связана с проводимостью посредством ε^′′ = ; тогда, пренебрегая ε^′ по сравнению с ε^′′, найдем, что n и æ совпадают и равны

n = æ = . (7.43)

Для связи между Е и Н в рассматриваемой однородной плоской волне снов получаем выражение (7.37) Н = [lE], но только с комплексными ε и μ. Оно снова показывает, что поля Е и Н перпендикулярны к направлению распространения волны и друг к другу. Если μ = 1 , то, написав в виде

= exp[i arctg(æ/n)],

видно, что магнитное поле по абсолютной величине превышает электрическое в раз, а по фазе отстает от него на угол arctg(æ/n); в случае (7.43) (для металлов) сдвиг фаз равен π/4.