Задачи к разделу
.docxЗадачи к разделу «логика»
Задание 1. Построить отрицания полученных утверждений и упростить их, используя законы математической логики.
Логические задачи можно решать как с помощью таблиц истинности, так и с помощью приведения формулы к нормальному виду.
Задача 6.1. Определить, кто из подозреваемых участвовал в преступлении, если известны следующие факты:
-
Если Иванов не участвовал или Петров участвовал, то Сидоров участвовал.
-
Если Иванов не участвовал, то Сидоров не участвовал.
Решение. Введем необходимые простые высказывания и обозначим их буквами.
И — Иванов участвовал в преступлении; П — Петров участвовал в преступлении; С — Сидоров участвовал в преступлении. Составим сложные высказывания, соответствующие перечисленным фактам: (ùИÚП)®С ùИ®ùС.
Эти два высказывания истинны (по условию задачи). Чтобы установить истину, необходимо перемножить эти два высказывания: ((ùИÚП)®С) Ù (ùИ®ùС).
Чтобы решить задачу необходимо указать, при каких значениях И, П и С мы получаем истинную логическую формулу.
Решение с помощью таблицы истинности.
Составим таблицу истинности полученной формулы:
((ùИÚП)®С) Ù (ùИ®ùС)
|
1 |
0 |
2 |
0 |
3 |
0 |
7 |
4 |
0 |
6 |
5 |
0 |
|
((ù |
И |
Ú |
П) |
® |
С) |
Ù |
(ù |
И |
® |
ù |
С |
|
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
1 |
1 |
0 |
1 |
|
0 |
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
0 |
|
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
0 |
1 |
1 |
0 |
1 |
|
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
1 |
1 |
0 |
|
1 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
|
1 |
0 |
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
1 |
0 |
|
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
1 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
|
1 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
1 |
0 |
Из таблицы истинности видно, что во всех выделенных строках И имеет значение 1, то есть в преступлении участвовал Иванов.
Решение задачи с помощью преобразования формулы:
((ùИÚП)®С) Ù (ùИ®ùС)
-
(ùИÚП)®С) = ù(ùИÚП)ÚС = (ИÙùП)ÚС=(ИÚС) Ù (ùПÚС)
-
ùИ®ùС=ИÚùС
-
((ИÚС)Ù(ùПÚС))Ù(ИÚùС)=((ИÚС)Ù(ИÚùС))Ù(ùПÚС)=
=(ИÚ (СÙùС))Ù(ùПÚС)= (ИÚ0)Ù(ùПÚС)=ИÙ(ùПÚС).
Теперь можно составить таблицу истинности этого достаточно простого высказывания.
|
0 |
3 |
1 |
0 |
2 |
0 |
|
И |
Ù |
(ù |
П |
Ú |
С) |
|
1 |
1 |
0 |
1 |
1 |
1 |
|
1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
|
1 |
1 |
1 |
0 |
1 |
1 |
|
1 |
1 |
1 |
0 |
1 |
0 |
|
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
|
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
|
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
1 |
|
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
Из таблицы истинности видно, что во всех выделенных строках И имеет значение 1, то есть в преступлении участвовал Иванов.
Задача 6.3. Записать следующее утверждение в виде формулы логики высказываний и определить выполнимость, общезначимость и количество моделей этой формулы:
«Студент не допускается к экзамену тогда и только тогда, когда у него не сдана курсовая работа или есть задолженности по лабораторным работам».
Решение. Обозначим все встретившиеся элементарные высказывания пропозициональными переменными:
p - «студент допущен к экзамену»;
q - «курсовая работа сдана»;
r - «есть задолженность по лабораторным работам».
Тогда формула запишется в следующем виде: Øp « (Øq Ú r).
Построим таблицу истинности, вычисляя сначала значения подформул:
|
p |
q |
r |
Øp |
Øq |
Øq Ú r |
Øp « (Øq Ú r) |
|
0 0 0 0 1 1 1 1 |
0 0 1 1 0 0 1 1 |
0 1 0 1 0 1 0 1 |
1 1 1 1 0 0 0 0 |
1 1 0 0 1 1 0 0 |
1 1 0 1 1 1 0 1 |
1 1 0 1 0 0 1 0 |
Таким образом, данная формула выполнима, т.к. имеет модели и не общезначима, т.к. имеются интерпретации, при которых она ложна. Формула имеет 4 модели.