4.4. Решение трехмерных уравнений Пуассона и Лапласа в общем случае

Рассмотрим уравнения Пуассона и Лапласа для полевой функции u(x,y,z):

,

.

Уравнение Пуассона имеет .

Его решение в произвольном объёме V, включающем в себя , будем искать с помощью формулы Грина (4.5).

В этой формуле в качестве u(x, y, z) возьмем полевую функцию, удовлетворяющую уравнению Пуассона на . Используем в качестве , где R расстояние между любой точкой источника и любой точкой объёма V. При совпадении точки наблюдения с точкой истока R=0 и условия применимости формулы Грина нарушаются. Окружим точку наблюдения сферой радиуса и выбросим область внутри сферы из рассмотрения. (рис. 24)

Тогда для области формула Грина дает

Сведем выброшенный объем к точке .

В параграфе 4.2 было установлено, что уравнение имеет решение в частном случае Учитывая, что =f, имеем , где

Здесь использована теорема о среднем:

Учитывая, что совпадает с искомой функцией, находим

Формула (4.6) – общее решение уравнения Пуассона.

Для уравнения Лапласа при f=0 получаем

4.5. Общее решение уравнения Лапласа при наличии разрыва производной искомой функции

Будем считать, что искомая функция удовлетворяет уравнению Лапласа в объёмеV, где есть поверхность , на которой производная претерпевает скачок (рис. 25):

Выбросим из рассмотрения точки , которые будем считать точками истока.

В формуле Грина (4.5) выберем u как полевую функцию, удовлетворяющую уравнению .

Устраним из рассмотрения , (рис. 26), получим

Устремляем .

где был вычислен в параграфе 4.4:

Подсчитаем :

Поскольку на и

получаем

Окончательный ответ имеет вид

При отсутствии разрыва производной функции u(x, y, z) внутри V формула (4.7) переходит в (4.).

4.6. Общее решение уравнения Пуассона в двумерном случае. Математическое дополнение.

Теорема Остроградского-Гаусса в двумерном варианте имеет вид

– нормаль к границе области S (рис. 27).

Выбирая , по аналогии с выводом формул Грина в параграфе 4.3 получим

Предположим, что искомая функция u=u(x, y) удовлетворяет уравнению

В формуле Грина будем считать u – искомой функцией, . Контур является окружностью радиуса , временно исключим площадь круга из рассмотрения (рис. 28). Тогда

Устремим

Учитывая, что , получаем в результате

Следовательно, (4.8) является решением неоднородной краевой задачи теплопроводности на плоскости.