1.5 Каноническая форма дифференциальных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами.
Рассмотрим уравнение
(1.2), в котором 
являются постоянными величинами, и
сведем его к канонической форме.
(1.2) 
, где
Используем замену
,
;
.
Получим канонические формы следующего типа:
,
,
.
Существует преобразование, позволяющее упростить эти уравнения.
Введем функцию
.
Константы 
и 
подбираются так, чтобы коэффициенты
при первых производных обращались в
ноль
,
,
1
,
-1
.
После подстановки этих производных в (1.7’) получаем
,
где
.
Возьмем 
;
,
в результате получаем
В результате получаем
. (1.10)
Аналогично, для (1.8) и (1.9) получаем
, (1.11)
(1.12)
где все 
и все 
постоянные величины.
Получили каноническую форму ДУ 2-го порядка с постоянными коэффициентами.
1.6 Каноническая форма ду со многими переменными
Будем считать, что
искомая функция зависит от 
переменных
.
В этом случае ДУ имеет
. (1.13)
Здесь 
; 
.
Перейдем к другой системе координат:
.
Распишем в общем виде производные из (1.13)
вместо (1.13)
где 
При замене переменных меняется матрица, составленная из коэффициентов при двух производных:
.
Существует линейное преобразование, приводящее матрицу квадратичной формы к диагональному виду, в котором
При линейных преобразованиях матрицы число диагональных элементов положительных, отрицательных или равных нулю сохраняется.
Предположим, что
диагональных элементов матрицы
коэффициентов больше нуля, а остальные
– меньше (
.
Тогда:
(1.14)
ДУ (1.14) является канонической формой ДУ гиперболического типа.
Если 
диагональных элементов матрицы
коэффициентов равны нулю, а остальные
–не равны, тогда
(1.15)
Уравнение (1.15) – каноническая форма уравнений параболического типа.
При всех диагональных элементов матрицы коэффициентов равных единице имеем
(1.16)
Уравнение (1.16) представляет собой каноническую форму ДУ эллиптического типа.
Тема 2. Краевые задачи гиперболического типа
2.4. Электромагнитное поле в однородных средах
Запишем уравнения Максвелла в произвольной среде.
|
|
|
Для
однородной среды
Для
вакуума
Запишем
уравнения Максвелла в изотропной среде
(
const):
Известно векторное равенство
rot rot = grad div - ∆ .
Действуем операцией rot на первое уравнение.
Так
как 
,
то
,
.
Действуем операцией rot на второе уравнение.
,
.
Так
как 
,
то
.
Получаем 6 уравнений для компонент
векторов напряженности
Введем
полевую функцию
,
для которой
,
тогда получаем уравнение
Уравнение
(2.4) – гиперболического типа, в соответствии
с 1.6 , причем
– поглощение энергии электромагнитным
полем.
В
одномерном случае, 
,
уравнение принимает вид (2.1).
2.5. Постановка краевых задач и их редукция
Краевая задача – это совокупность дифференциальных уравнений второго порядка, начальных и краевых условий.
Рассмотрим уравнение одномерных колебаний
.
Оно
описывает вынужденные колебания, но
при 
имеем собственные колебания.
Задача ставится так, чтобы существовало решение и притом единственное. Для этого начальные условия задаются поведением функции в начальный момент времени.
Начальные условия:
|
|
|
Краевые условия определяют функцию на границах области ее определения.
Граничные условия для струны:
а) ограниченных размеров
|
|
где
|
б) концы закреплены u(0,t)=u(l,t)=0;
в) Если второй конец удалён от области рассмотрения, то струна считается полубесконечной и остается условие только для одного конца, например, u(0,t)=0;
г) Если оба конца удалены от области рассмотрения, то граничные условия не задаются.
Возможны такие вариации краевых задач:
|
|
Вынужденные колебания бесконечной струны (2.1а)
| |
|
|
Вынужденные колебания полубесконечной струны с закреплённым левым краем (2.1б)
| |
|
|
Вынужденные колебания струны, ограниченных размеров с обоими закреплёнными концами (2.1в)
| |
Общая краевая задача может быть записана в виде
Метод редукции заключается в сведении решения сложных краевых задач к совокупности решений более простых краевых задач.
Представим решение в виде суммы четырёх функций:
,
где для каждой функции строится своя
задача.
|
|
|
|
|
Сумма этих задач даёт общую задачу. Решая их по отдельности, можно построить решение общей краевой задачи (2.5).