2.5 Четность и нечетность

Функция y=f(x) называетсячетной, если для любых значенийxи –xиз области определенияf(-x)=f(x)инечетной, если f(-x)=-f(x). В противном случае функцияy=f(x) называется функциейобщего вида.

График четной функции симметричен относительно оси ординат, а график нечетной функции симметричен относительно начала координат.

Заметим, что если функция y=f(x) четная или нечетная, то об­ласть ее определения симметрична относительно центра О. Сумма и разность нечетных функций есть функция нечетная, а произведение и частное нечетных функций - функция четная.

ПРИМЕР.Функцияy=(рис. 2.3) является четной (так какf(-x)==иf(-x)=f(x), а функцияy=(рис. 2.8) – нечетной (так какf(-x)==иf(-x)= -f(x)).

В то же время, функция y=+(рис. 2.9) является функцией общего вида, так какf(-x)=,f(-x) f(x) и f(-x) -f(x).

Рис. 2.8 Рис. 2.9

ПРИМЕР 1. Выяснить четность (нечетность функций):

1. ; 2. ;3. .

Решение.

1. Так как то данная функция нечетная;

2. Так как то данная функция четная;

3. Так как и , то данная функция ни четная, ни нечетная (общего вида).

УПРАЖНЕНИЯ

Выяснить четность (нечетность) функций:

2.39. .

2.40. .

2.41..

2.42.

2.43.

2.44.

2.45.

2.46.

2.47.

2.48.

2.49.

2.50.

2.51.

2.52.

2.53.

Ответы к упражнениям

2.39. Четная.2.40. Нечетная. 2.41. Нечетная. 2.42. Общего вида. 2.43. Нечетная. 2.44. Нечетная. 2.45. Четная.2.46. Нечетная.2.47. Общего вида. 2.48. Четная.2.49. Нечетная. 2.50. Общего вида. 2.51.Четная.2.52. Нечетная. 2.53. Общего вида.

2.6 Ограниченность

Функция f(x) называетсяограниченнойна промежуткеX, если существует такое положительное числоM>0, что M для любогоxX. В противном случае функция называетсянеограниченной.

ПРИМЕР 1.Функцияy=(рис. 2.10) ограничена на всей числовой оси, ибо для любогоxR.

Рис. 2.10

2.7 Периодичность

Функция y=f(x) называетсяпериодической с периодомT0, если для любыхx иx+T из области определения функцииf(x+T)=f(x).

ПРИМЕР.Функцияy=(рис. 4) имеет периодT=2(nN), так как для любыхx =.

УПРАЖНЕНИЯ

Найти наименьший положительный период функций:

2.54.

2.55.

2.56.

2.57.

2.58.

2.59.

Ответы к упражнениям

2.54. .2.55. .2.56. .2.57..2.58..2.59..

2.8 Возрастающие и убывающие функции.

Пусть на отрезке [a,b] определена непрерывная функцияf(x). Далее, пусть , ,<- произвольные числа из промежутка [a,b]. Функцияf(x)называется на промежутке [a,b]:

• неубывающей, если выполняется неравенствоf()f();

• возрастающей, если выполняется неравенствоf()<f()(рис. 2.11);

• невозрастающей, если выполняется неравенствоf()f();

• убывающей, если выполняется неравенствоf()>f()(рис.2.12).

Рис. 2.11 Рис. 2.12

Пусть функция f(x)имеет внутри промежутка [a,b] конечную производную. Тогда:

1. Для того, чтобы f(x)была неубывающей (невозрастающей) на [a,b], необходимо и достаточно, чтобы для любого выполнялось неравенство ();

2. Для того, чтобы f(x)была возрастающей (убывающей), необходимо и достаточно, чтобы для любого выполнялось неравенство ().

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ

ПРИМЕР 1. Определить промежутки возрастания и убывания функций:

1. f(x) =; 2. f(x) =; 3. f(x) =;

Решение.1. Решение задачи сводится к нахождению промежутков, где производная функции сохраняет знак. Находим производную:

.

Знак производной определяется знаком квадратного трехчлена

,

где = -1 и= 4 – корни трехчлена. Так как коэффициент при-- положительное число, то имеют место неравенства:

(x+1)(x-4)>0 дляx<-1;

(x+1)(x-4)<0 для -1<x<4;

(x+1)(x-4)>0 для x>4.

Поэтому промежутки (-,-1) и (4,+) являются промежутками возрастания, а промежуток (-1,4) – промежутком убывания функцииf(x).

2. Производная имеет вид:

.

Знак производной определяется знаком выражения x(2-x), так как для любого . Очевидны неравенства:

x(2-x)<0 для -<x<0,

x(2-x)>0 для 0<x<2,

x(2-x)<0 для 2<x<+

Поэтому на промежутках (-,0) и (2,+) функцияf(x)убывает, а на промежутке (0,2) возрастает.

3. Производная функции равна:

Так как 1+>0 для , то знак производной определяется выражением 1-, при этом

1-<0 для -<x<-1,

1->0 для -1<x<1,

1-<0 для 1<x<+.

Поэтому на промежутках (-,-1) и (1,+) функция убывает, а на промежутке (-1,1) возрастает.

УПРАЖНЕНИЯ

Найти промежутки возрастания и убывания следующих функций:

2.60. f(x)= ln(1-);

2.61. f(x) = 4;

2.62. f(x) = ;

2.63. f(x)=;

2.64. f(x)= ;

2.65. f(x)= ;

2.66. f(x)=

2.67.

2.68.

2.69.

2.70.

2.71.

2.72.

Ответы к упражнениям

2.60.(-1;0) – промежуток возрастания, (0;1) – промежуток убывания;2.61. (-;0.5) и (3;+) – промежутки возрастания, (0.5;3) – промежуток убывания;2.62.(-;1.5) – промежуток возрастания, (1.5;+) – промежуток убывания;2.63. (-;-2-) и (-2+;+) – интервалы возрастания, (-2-;-2) и (-2;-2+) – промежутки убывания;2.64. (-1;0.5) и (5;+) – промежутки возрастания, (-;-1) и (0.5;5) – промежутки убывания;2.65. (1;+) – промежуток возрастания, (0;) и (;1) – промежутки убывания;2.66.()- промежуток возрастания, ()- промежуток убывания. 2.67. функция возрастает на промежуткеи убывает на промежутках. 2.68. функция возрастает на всей числовой оси.2.69. функция возрастает на промежуткахии убывает на промежутках.2.70. функция возрастает на всей числовой оси.2.71. функция возрастает приии убывает при.2.72. функция возрастает прии убывает при.