1. Вспомогательные сведения

Напомним некоторые сведения, которые нам понадобятся в дальнейшем при проведении исследования функций.

Предел функции в точке и в бесконечности

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.Число А естьпределфункцииf(x) в точке х₀ , если для любой шириныполосы (А+, А-) существует такое значение δ(ε)>0 , что для всех х, не равных х₀, попадающих в δ – окрестность точки х₀ (|х -х₀|< δ) выполняется неравенство |f(x)-A|< (значения функции не выходят из выбранной полосы, как бы мала ни была ее ширина ).

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2.Число А есть предел функцииf(x) в бесконечности, если для любой шириныполосы (А+, А-) существует такое значение Е(х) аргумента х, что для всех х, следующих за Е(х) (х > Е(х) для случая плюс бесконечности или х < Е(х) для минус бесконечности) выполняется |f(x) -A|< (значения функции не выходят из выбранной полосы, как бы мала она не была).

Замечание 1. Если при стремленииxкx₀переменнаяxпринимает лишь значения, меньшиеx₀, или, наоборот, лишь значения, большиеx₀, и при этом функцияf(x) стремится к некоторому числу А, то говорят об односторонних пределах функцииf(x), соответственно слеваи справа.

Определение этих пределов аналогично определению 1, только xберется не из всейδ – окрестности точкиx₀, а из левой окрестности (x₀-δ, x₀) для левостороннего предела и правой окрестности (x₀, x₀+δ) для правостороннего.

При этом, если , то.

Первым замечательным пределом называется

.

Вторым замечательным пределом называется

. Производная функции

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Производной функцииf(x) в точкеx₀ называется конечный предел (если он существует) отношения приращения функции (y) к приращению аргумента (х) при стремлении последнего к нулю.

Таблица 1. Производные основных элементарных функций.

f(x)

Таблица 2. Правила дифференцирования.

Производная алгебраической суммы функций
Производная алгебраической суммы функций
Производная произведения
Производная сложной функции

2.Функция

2.1. Понятие и основные свойства функции

Постояннойвеличиной называется величина, сохраняющая одно и то же значение. Например, отношение длины окружности к ее диаметру есть постоянная величина, равная числу.

Если величина сохраняет постоянное значение лишь в условиях данного процесса, то в этом случае она называется параметром.

Переменной называется величина, которая может принимать различные числовые значения. Например, при равномерном движенииS=vt, где путьSи времяt– переменные величины, аv– параметр.

Перейдем к понятию функции.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Если каждому элементу x множества X (xX) ставится в соответствие вполне определенный элемент y множества Y (yY), то говорят, что на множестве X задана функция y=f(x).

При этом xназываетсянезависимой переменной (илиаргументом),y – зависимой переменной, а букваfобозначает закон соответствия.

Множество Xназывается областью определения (илисуществования) функции и обозначается, а множествоY – областью значений функции и обозначается.

Если множество X специально не оговорено, то под областью определения функции подразумевается область допустимых значений независимой переменнойx, т.е. множество таких значенийx, при которых функцияy=f(x) вообще имеет смысл.

Пусть есть функция от независимой переменнойx, определенной на множествеXс областью значенийY. Поставим(если это возможно) в соответствие каждомуединственное значение, при которомТогда полученная функция, определенная на множествеYс областью значенийX, называетсяобратной. Будем записывать обратную функцию в видеили, по аналогии с обозначением обратной величины,. Известно, что функция имеет обратную на промежутке (a;b)тогда и только тогда, когда она строго монотонна на этом промежутке (см. раздел 2.8).

Среди функций выделяют основные элементарные функции, к ним относятся степенная, показательная, логарифмическая, тригонометрические и обратные тригонометрические функции.

Функции, построенные из основных элементарных функций с помощью конечного числа алгебраических действий и конечного числа операций образования сложной функции, называются элементарными( подробнее см. раздел 2.9).

ПРИМЕР 1.Область определения функцииy=есть полуинтервал (-; 10], так как 10-x0; если же переменнаяxобозначает, предположим, время, то при естественном дополнительном условииx0 областью определения функции будет отрезок [0; 10].

Способы задания функций. Существует несколько способов задания функции.

а) Аналитический способ, если функция задана формулой видаy=f(x). Этот способ наиболее часто встречается на практике. Так, функцияy=, рассматриваемая выше, задана аналитически.

Не следует путать функцию с ее аналитическим выражением. Так, например, одна функцияy=

имеет два аналитических выражения(приx<0) иx+3 (приx0).

При этом различают функции, заданные явно, и функции, заданныенеявно. Функция называетсяявной, если она задана формулой, в которой правая часть не содержит независимой переменной; например, функция

Функция yаргументаxназываетсянеявной, если она задана уравнением,не разрешенным относительно зависимой переменной. Например, функция y(), заданная уравнением.

б) Табличный способ состоит в том, что функция задается таблицей, содержащей значения аргументаxи соответствующие значения функцииf(x), пример:

x	2	4	6	7	9	12
f(x)	23	17	32	54	8	12

в) Графический способ состоит в изображении графика функции – множества точек (x, y) плоскости, абсциссы которых есть значения аргументаx, а ординаты – соответствующие им значения функцииy=f(x).

г) Словесный способ, если функция описывается правилом ее составления, например, функция Дирихле:f(x)= 1, еслиx– рационально;f(x)= 0, еслиx– иррационально.

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ

ПРИМЕР 1.Найти область определения функций:

1. ; 2..

Решение.

1. Область определения функции найдем из системы неравенств откудаили.

2. Область определения функции найдем из системы неравенств откудаиС помощью числовой оси находим, что.

ПРИМЕР 2.Найти область значений функций:

1. .

Решение.

Выразим xчерезy. Получим функцию, заданную неявно квадратным уравнениемОбласть определения этой функции найдется из условия, что дискриминант

, т. е.или. Таким образом,Отсюда также следует, что функция является ограниченной.

2. .

Решение.

Преобразуем функцию

Отсюда видно, что область значений функции

УПРАЖНЕНИЯ

Найти область определения функций:

1. .

2. 

3. 

4. 

5. 

6. 

7. 

8. 

9. 

10. 

11. 

12. 

13. 

14. 

15. 

16. 

Найти область значений функций:

2.17.

2.18.

2.19.

2.20.

2.21.

2.22.

2.23.

2.24.

2.25.

Ответы к упражнениям

2.1. 2.2.2.3.2.4. 2.5. 2.6. 2.7. множество вещественных чисел 2.8. 2.9. 2.10. 2.11. 2.12. 2.13. 2.14. 2.15. 2.16. 2.17. 2.18.. 2.19.2.20. 2.21.2.22. 2.23. 2.24. 2.25.