§1. Непрерывные функции. Односторонние пределы

Определение. Функция называетсянепрерывной в точке , если она удовлетворяет следующим трем условиям:

1. Определена в точке (т.е. существует);

2. Имеет конечный предел функции при ;

3. Этот предел равен значению функции в точке , т.е..

Если хотя бы одно из условий не выполняется, то функция называется разрывной в точке а сама точканазываетсяточкой разрыва функции.

Односторонние пределы.

Односторонние пределы бывают правосторонними, когда стремится к своему предельному значению, оставаясь больше него, илевосторонними, когда стремится к своему предельному значению, оставаясь меньше него. Правосторонний предел обозначаетсяили, а левостороннийили.

Пример 1 Найти односторонние пределы

a) в точке.

Решение:

b) в точках ,.

Решение:

c) в точке

Решение:

d) в точке .

Решение:

Задачи для выполнения на практических занятиях:

Найти односторонние пределы функций:

1) в точке

2) в точке

₃₎ в точке

4)в точке

₅₎в точке

6)в точке

Задачи для самостоятельного решения:

1) в точке

2)в точке

₃₎ в точке

₄₎ в точке

₅₎ в точке

§2. Точки разрыва и их классификация

Определение. Точка называетсяточкой разрыва функции , если эта функции в данной точке не является непрерывной.

1. Если , то функцияназывается непрерывной в точке.

2. Если , то точканазывается точкой разрыва первого рода (разрыв устранимый).

3. Если , то точканазывается точкой разрыва первого рода (разрыв неустранимый).

4. Если и (или), то точканазывается точкой разрыва второго рода.

_{Разрыв второго рода не делится на устранимый и неустранимый.}

Пример 2 Исследовать на непрерывность и найти точки разрыва, если таковые существуют.

1. 

Решение:

, т.е. - непрерывная функция.

2. 

Решение:

, т.е. - точка разрыва первого рода, причем разрыв устранимый.

3. 

Решение:

, т.е. - точка разрыва первого рода.

В точке функция терпит скачок, поэтому разрыв неустранимый.

4. 

Решение:

, т.е. - точка разрыва второго рода.

5. 

Решение:

т.е. - точка разрыва второго рода.

6. 

Решение:

, т.е. - точка разрыва второго рода.

Задачи для выполнения на практических занятиях:

Исследовать на непрерывность и найти точки разрыва функций

1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

Задачи для самостоятельного решения:

Исследовать на непрерывность и найти точки разрыва функций

1)

2)

3)

4)

5)

6)

Контрольная работа

Вычислить пределы:

1. 

2. 

3. 

4. 

5. 

1. Исследовать на разрыв функцию

Ответы:

Глава 1.

§ 1

Задания для выполнения на практических занятиях:

1. 0 2) 3) 1 4) 1 5) 0,01 6) 5 7) 0 8) 0 9) 0 10) 0

Задачи для самостоятельной работы:

1. 2) 3) 0 4) 5) 6)

§ 3

Задания для выполнения на практических занятиях:

1) 0 2) 0 3) -2 4) 5) 6) 7) 8) 9) 10) 0

Задачи для самостоятельной работы:

1) 2) 0 3) 0 4) 5) 1 6)

§ 4

Задания для выполнения на практических занятиях:

1) 0 2) 3) 4) 5) 1 6) 7) 8) 9) 10)

Задачи для самостоятельной работы:

1) 2 2) 3) 1 4) 5) 6)

§ 5

Задания для выполнения на практических занятиях:

2. 2)

3) 4)

5) 6)

Задачи для самостоятельной работы:

2. 2)

3) 4)

5)

Глава 2.

§ 1

Задания для выполнения на практических занятиях:

1)2) 3) 4) 5) 6) 1 7) 8) 9) 10) 11) 12)

Задачи для самостоятельной работы:

1) 2) 3) 0 4) 5) 6)

§ 2

Задания для выполнения на практических занятиях:

1) в точке функция непрерывна

2) в точках функция имеет разрыв второго рода

3) в точке функция имеет разрыв первого рода

4) в точке функция имеет разрыв (неустранимый) первого рода

5) в точке функция имеет разрыв второго рода

6) в точке функция имеет разрыв (неустранимый) первого рода

7) в точке функция имеет разрыв первого рода

Задачи для самостоятельной работы:

1) в точке функция имеет разрыв первого рода

2) в точке функция имеет разрыв первого рода

3) в точке функция имеет разрыв второго рода

4) в точке функция имеет разрыв первого рода

5) в точке функция имеет разрыв первого рода

6) в точках функция имеет разрыв второго рода

Литература

1. Щипачев В.С. Высшая математика. Учебник для вузов. М.: «Высшая школа», 2001-479с.

2. Высшая математика для экономистов: Учебник для втузов /Н. Ш. Кремер, Б. А. Путко, И. М. Тришин, М. Н. Фридман; под редакцией профессора Н. Ш. Кремера – 2-ое издание, перераб. и доп. – М: Банки и Биржи, ЮНИТИ, 1998 - 471с.

3. Сборник задач по курсу высшей математики. Под редакцией Г. И. Кручковича. Изд. 3, перераб. Учебное пособие для втузов. М., «Высшая школа», 1973. 576с. С илл.

4. Гусак А.А. Пособие к решению задач по высшей математике. Изд. 3-е, стереотип. Мн.. Изд. БГУ, 1973. 532 стр. с илл.

5. П.Е. Данко, А.Г. Попов. Высшая математика в упражнениях и задачах. Ч 1. Учебное пособие для втузов. М, «Высшая школа», 1974-464с.

6. Лунгу К.Н. Сборник задач по высшей математике. М: Айрис-пресс, 2008-576с.

7. Баранова Е.С., Васильева Н.В., Федотов В.П. Практическое пособие по высшей математике. С-Петербург: «Пиллер», 2009-320с.

33