§5. Замечательные пределы
Определение.
Первым
замечательным пределом
называется
Кроме того,
. Докажем это. Положим
,
откуда
.
Если
,
то и
,
поэтому
.
Также
Докажем
это. Разделив числитель и знаменатель
на
,
на основании формулы
получаем:
.
Пример
12 Вычислить
пределы
a)
.
Решение:
Принимая во
внимание, что
и
,
на основании свойств пределов получаем
.
Итак,
.
b)
.
Решение:
При
числитель и знаменатель обращаются в
нуль. Знаменатель содержит иррациональность.
Освободимся от иррациональности
c)
Решение:
Это предел вида
,
где
,
.Поэтому
в соответствии с формулой (6) из §3 ищем
,
Получаем
.
Определение.
Вторым
замечательным пределом
называется
или
.
,
т.е. число е
– иррациональное число .
Число
(число Эйлера,
неперово число)
играет весьма важную роль в математическом
анализе. График функции
получил
название
экспоненты.
Широко используются логарифмы по
основанию
,
называемые
натуральными.
Натуральные логарифмы обозначаются
символом
.
Кроме того
.
Докажем это.
При
выражение
,
получаем неопределенность
.
Введем новую
переменную
по формуле
,
откуда
.
Если
,
то
,
поэтому
.
На основании формулы
находим
.
Следовательно,
.
К пределам «типа
e»
относятся примеры с неопределенностью
вида
.
В этом случае выражение, стоящее под
знаком предела, представляет собой
степенно-показательную функцию.
Неопределенность устраняется при помощи выделения «второго замечательного предела».
Пример
13 Найти
пределы:
a)
.
Решение:
На основании
формулы (5) получаем
.
b)
.
Решение:
Прибавляя и вычитая
1 из
и применяя формулу (5), получаем
Поскольку
,
то
.
c)
.
Решение:
Аналогично примеру
12c),
попробуем вычислить этот предел по
формуле
.
Получаем
-
это предел «типаe».
Получим
.
d)
.
Решение:
.
.
Получим
.
Значит это предел «типаe».
Решение получается сведением к формуле (6) путем прибавления к основанию 1 и введения новой переменной.
Замечание 10 При вычислении пределов степенно-показательных функций приходится также иногда пользоваться формулами
и
.
Пример
14 Вычислить
пределы
a)
.
Решение:
,
поэтому
по
формуле
.
b)
.
Решение:
,
поэтому
по формуле
.
Задачи для выполнения на практических занятиях:
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
9)
10)
11)
12)
Задачи для самостоятельного решения:
Вычислить пределы:
1)
2)
3)
4)
5)
6)
Тест
а)
-3
в)
с)
d)
e)
а)
в)
3
с) 0
d) 1
e)
а)
0
в)
1
с
)
d)
e)
а) 0
в)
1 с)
d)
e)
О
твет
а)
0
в)
1
с) 2
d) 3
e)
О
твет
а)
-1
в)
0
с) 0,5
d) 1
e)
О
твет
а)
в)
0 с)
0,5
d)
1
e)
