§ 3. Основные теоремы о пределах. Вычисление пределов функций
При вычислении пределов функций пользуются следующими основными теоремами:
Если предел функции существует, то он единственный
,
где
- постоянная
Если
и
существуют, то :
и
,
где
- постоянная
,
если
Для всех основных элементарных функций:
Кроме того
-неопределенность
-
неопределенность
Вычисление пределов функций
Нахождение предела
в точке
обычно сводится к подстановке в данную
функцию предельного значения аргумента.
Это иногда приводит к неопределенным
выражениям вида
.
Нахождение предела функции в этих
случаях называется раскрытием
неопределенности. Для раскрытия
неопределенности приходится проводить
различные преобразования данной функции.
Замечание 6 Чтобы
раскрыть неопределенность вида
,
заданную отношением двух многочленов
надо числитель и знаменатель разделить
на самую высокую входящую в них степень
х, а затем перейти к пределу.
Пример 7
Вычислить
пределы:
Чтобы раскрыть
неопределенность
необходимо разделить числитель и
знаменатель на х подведем х под знак
корня
=
Здесь
и
Замечание 7 Если
дана рациональная функция
,
то
Замечание 8: Чтобы
раскрыть неопределенность вида
,
надо в числителе и в знаменателе выделить
критический множитель (т.е. множитель
равный нулю при предельном значении х)
и сократить на него.
Пример 8
(по
замечанию 4)
При
числитель и знаменатель данной функции
обращаются в нуль. Получается
неопределенность вида
,
которая по замечанию 8 раскрывается
путем сокращения на критический множитель
. Разложим числитель на множители по
формуле
,
где
и
корни квадратного уравнения
.
Получим,
Здесь критический множитель находим умножением числителя и знаменателя на выражение сопряженное числителю:
Замечание 9 Чтобы
раскрыть неопределенность
надо путем преобразований получить
неопределенность вида
или
.
Пример 9
Вычислить
пределы:
Задачи для выполнения на практических занятиях
Задачи для самостоятельного решения:
§ 4. Бесконечно малые величины и их применение к отысканию пределов
Определение.
Функция
называетсябесконечно
малой величиной при
,
или
,
если ее предел равен нулю:
Например, функции
при
и
при
есть бесконечно малые величины, ибо их
пределы равны нулю.
Определение.
Пусть функции
и
- бесконечно малые при
. Если
,то
бесконечно малые
и
при
называются
эквивалентными:
в этом случае пишут
.
Если
и
,
то справедлив принцип замены эквивалентных
бесконечно малых величин:
Таблица эквивалентных бесконечно малых функций :
Пример 10
Вычислить
пределы:
При подстановке
вместо х значение 0 возникает
неопределенность вида
.
Для нахождения критического множителя
воспользуемся таблицей эквивалентных
бесконечно малых функций. Т.к.
и
,
то функции
и
- бесконечно малые, значит
.
Аналогично
.
Задачи для выполнения на практических занятиях:
Задачи для самостоятельного решения:
