§ 2. Предел функции в бесконечности и в точке

Определение. Переменная (зависимая) величина называетсяфункцией независимой переменной величины (аргумента) на множестве , если каждому значениюпоставлено в соответствие определенное значение. Обозначение:. Множествоназывается областью определения функции, множество- областью значений.

Предел функции в бесконечности. С понятием предела числовой последовательности тесно связано понятие предела функции в бесконечности. Если в первом случае переменнаяn, возрастая, принимает лишь целые положительные значения, то во втором случае переменная x, изменяясь, принимает любые значения

Определение. Число А называется пределом функции при x , стремящемся к бесконечности, если для любого, даже сколь угодно малого положительного числа , найдется такое положительное число (зависящее от ;), что для всех х таких, что , верно неравенство: .

Этот предел функции обозначается илипри.

С помощью логических символов определение имеет вид: .

Смысл определения остается тем же, что для предела числовой последовательности: при достаточно больших по модулю значениях х значения функции как угодно мало отличаются от числа А (по абсолютной величине).

y

Y=f(x)

A+

A

2

A-

x

S

0

Выясним геометрический смысл предела функции в бесконечности. Неравенстворавносильно двойному неравенству, соответствующему расположению части графика в полосе шириной.

Итак, число А есть предел функции при, если для любогонайдется такое число, что для всех х таких, что, соответствующие ординаты графика функциибудут заключены в полосе , какой бы узкой эта полоса ни была.

Пример 3 Доказать, исходя из определения предела, что

Решение: Пусть - любое положительное число. Требуется доказать, что можно подобрать такое, что для всех, удовлетворяющих неравенству, будет выполняться неравенство. Если, тои

Следовательно, для выполнения неравенства достаточно найтииз условият.е.. Итак, для любогонайдено такое, что из неравенстваследует неравенство, т.е. доказано, что.

Замечание 2 Приведенное выше определение предела при предполагает неограниченное возрастание независимой переменной х по абсолютной величине. В то же время можно сформулировать понятие предела при стремлении х к бесконечности определенного знака, т.е. прии при. В первом случае основное неравенство должно выполняться для всех х таких, что, а во втором – для всех х таких, что.

Замечание 3 Пределы функций, заданных многочленами любой степени не существуют, т. е.

Пример 4 Вычислить пределы:

1. 

2. 

3. 

4. 

Определение. Любая точка числовой оси называетсяпредельной точкой множества, если во всякой окрестности точки содержатся точки из множества, отличные от точки(точкаможет и не принадлежать множеству).

Предел функции в точке. Пусть функция задана в некоторой окрестности точки , кроме, быть может, самой точки.

Определение. Число А называется пределом функции при х, стремящемся к(или в точке), если для любого, даже сколь угодно малого положительного числа ,найдется такое положительное число (зависящее от,),что для всех х. не равных и удовлетворяющих условию выполняется неравенство .

Этот предел функции обозначается илипри.

С помощью логических символов определение имеет вид:

Смысл определения предела функции в точке состоит в том, что для всех значений х, достаточно близких к, значения функции как угодно мало отличаются от числа А (по абсолютной величине)

y

Y=f(x)

A+

A

2

A-

x

0

S

Рассмотрим геометрический смысл предела функции в точке. Как отмечалось выше. Неравенство равносильно двойному неравенству, соответствующему расположению части графика в полосе шириной. Аналогично неравенстворавносильно двойному неравенству, соответствующему попаданию точек х в-окрестность точки.

Число А есть предел функции при, если для любогонайдется такая-окрестность точки, что для всех из этой окрестности соответствующие ординаты графика функции будут заключены в полосе , какой бы узкой эта полоса ни была.

Пример 5 Доказать , исходя из определения предела, что

Решение: Пусть - любое положительное число. Требуется доказать. Что можно подобрать такое, что для всех, удовлетворяющих неравенству, будет выполнено неравенство.

Если , тои

Для выполнения неравенства достаточно потребовать, чтобы , т.е., откуда(второй кореньотбрасывается, так какдолжно быть положительным).

Таким образом, для любого найдено такое, что из неравенстваследует неравенство, т.е.

Замечание 3 Определение предела не требует существования функции в самой точке , ибо рассматривает значения в некоторой окрестности точки. Другими словами, рассматривая, мы предполагаем, что х стремится к, но не достигает значения. Поэтому наличие или отсутствие предела приопределяется поведением функции в окрестности точки, но не связано со значением функции (или его отсутствием) в самой точке.

Замечание 4 Вычисление предела функции в точке сводится к вычислению значения этой функции при предельном значении аргумента, т.е. .

Пример 6 Вычислить пределы:

1. 

2. 

3. 

Замечание 5 Если при стремлении х к переменная х принимает лишь значения, меньшие, или наоборот, лишь значения, большие, и при этом функция стремится к некоторому числу А, то говорят об односторонних пределах функции соответственно слева исправа .