Математическое описание дискретных систем ра

Для анализа и синтеза дискретных (в том числе и цифровых) систем РА используется математический аппарат Z-преобразования, краткое изложение которого содержится в данной лекции (подробное знакомство с математическим аппаратом дискретных систем будет вам предложена в рамках дисциплины «Цифровая обработка сигналов»).

Дискретное преобразование Лапласа записывается в виде

(16.1)

Функцию называютдискретной или решетчатой.

Введем переменную . Тогда выражение (16.1) принимает вид

(16.2)

где – оператор задержки наT, Т – интервал дискретизации.

Функцию Х(z) называют Z-преобразованием непрерывной функции х(t) (Z-преобразования).

Передаточные функции дискретной замкнутой системы (рис.16.1,а) определяются аналогично передаточным функциям непрерывных систем. Так передаточная функция «от воздействия х к управляемой переменной у»

(16.3)

а передаточная функция «от воздействия х к ошибке e»

(16.4)

где X(z), Y(z) и E(z) – Z-преобразования соответствующих переменных, K_p(z)–передаточная функция разомкнутой системы.

а

б

Рис.16.1

Как и для непрерывных систем, может быть составлена обобщенная структурная схема(рис.16.1,б) радиотехнической следящей дискретной системы (линейная модель), где x(kT), y(kT), e(kT) и n(kT) – дискретные функции, описывающие задающее воздействие, управляемую переменную, ошибку и помеху на выходе дискриминатора в моменты t=kT, k=0,1…

С использованием передаточных функций (16.3), (16.4), а также структурной схемы рис.16.1, можно записать разностное уравнение системы (аналог дифференциального уравнения для непрерывной системы)

(16.5)

где y[k]=y(kT) – значение управляемой на текущем k-м шаге, x[k–i]=y[k–i]–предыдущие значения дискретных функций на (k–i)-м шаге (при отрицательном аргументе равны нулю).

Коэффициенты a_i (i=0,1,2…,n) и b_i(i=1,2,…,m) определяются по передаточной функции (16.3), которую необходимо представить в виде дробно-рациональной функции по степеням z^-1 (см. лекцию 12):

(16.6)

Используя для передаточной функции (16.4) представленное аналогичное (16.6), можно записать разностное уравнение для ошибки e[k], k=0,1,2,…

Контрольные вопросы

1. Дайте определение дискретнойСАУ. Какие системы относятся к дискретным САУ?

2. Дайте краткую характеристику математического аппарата дискретного преобразования ЛапласаиZ-преобразования.

3. Какую функцию называют решетчатой?

4. Как записываются передаточные функции линейной дискретной системы?

5. Какой вид имеет обобщенная структурная схема дискретной следящей системы?

6. Как записывается разностное уравнение дискретной САУ?

Тема 17: «показатели качества управления дискретных систем радиоавтоматики» Анализ устойчивости дискретных систем ра

Характеристическое уравнение дискретной замкнутой системы получается из передаточной функции (16.3) путем приравнивания ее знаменателя к нулю:

(17.1)

Напомним, что необходимым и достаточным условием устойчивости непрерывной замкнутой системы является расположение корней характеристического уравнения на плоскости комплексной переменной р слева от мнимой оси (см. лекцию 6). Учитывая связь между переменными р и z=e^pT, требование к корням характеристического уравнения дискретной системы можно сформулировать так: замкнутая система устойчива, если все корни характеристического уравнения (17.1) расположены на плоскости комплексной переменной z внутри круга единичного радиуса (рис.17.1,а).

Рис.17.1

В силу периодичности функции e^pT указанное соответствие между допустимыми областями для корней характеристического уравнения непрерывной и дискретной систем ограничивается полосой частот от 0 до 2π/T (или ) – годограф вектораe^jwT совершает один оборот (рис.17.1,а). Это не позволяет применить непосредственно ни один из известных критериев устойчивости непрерывных систем. Отмеченную трудность можно обойти, если ввести комплексную переменную

(17.2)

и так называемую псевдочастоту

(17.3)

На частотах ω<2/T псевдочастота w=ω. При изменении частоты ω от псевдочастота принимает значения от–∞ до ∞, а комплексная переменная изменяется от, т.е. внутренняя часть круга единичного радиуса (рис.17.1,а) отображается в левую полуплоскость комплексной переменной (рис.17.1,б). Следовательно, для оценки расположения корней характеристического уравнения на плоскости могут быть использованы критерии устойчивости, разработанные для непрерывных систем.

В частности, при использовании критерия Гурвица необходимо перейти от характеристического уравнения (17.1) к уравнению

.

Далее, как и для непрерывной системы, составляется главный определитель Гурвица и проверяются условия (см. лекцию 6).

Устойчивость дискретных систем РА можно оценить и с использованием частотных критериев. Применение критерия Найквиста требует построения АФХ разомкнутой дискретной системы (годографа)

при , (17.4)

а сам критерий формулируется следующим образом: дискретная система, устойчивая в разомкнутом состоянии, устойчива и в замкнутом состоянии, если годограф АФХ не охватывает точку (–1,j0).

Запас устойчивости по фазе и по усилению определяется так же, как для непрерывных систем (формулы 17.4) при подстановке в них значений частоты ω_ср среза и критической частоты ω_кр, определенных по АФХ дискретной системы (на интервале ).