7. 2. Инерционное звено (апериодическое звено первого порядка)

Уравнение динамики инерционного звена имеет вид

, (7.2)

где T– постоянная времени, обусловленная наличием емкости, индуктивности, момента инерции и т. д.;k– коэффициент передачи.

Передаточная функция инерционного звена

K(p) = k/(1+Tp). (7.3)

Амплитудно-частотная и фазо-частотная характеристики звена определяются выражениями:

, (7.4)

. (7.5)

Построенные по этим формулам АЧХ и ФЧХ инерционного звена для двух значений постоянной времени (T₂ > T₁) представлены на рис. 7.1.

Рис. 7.1

Чтобы построить ЛАХ звена, необходимо определить логарифмическую функцию АЧХ в децибелах из (7.4):

,

или

. (7.6)

Точное построение ЛАХ заключается в последовательном определении значений L() при различных частотах . Построение ЛАХ обычно упрощают, заменяя точную L() ее асимптотами. Первая асимптота характеризует ЛАХ при малых частотах, когда величиной ²T² можно пренебречь, т. е. принимают

. (7.7)

Эта асимптота не зависит от частоты. Вторая асимптота характеризует ЛАХ при больших частотах, когда ²T²>>1, т. е. принимают

. (7.8)

Если принять приращение частоты на одну декаду (₂ = 10₁), то АЧХ в децибелах изменится на величину

.

Следовательно, для второй асимптоты известен наклон, характеризующий убывание амплитуды на 20 дБ при возрастание частоты на 1 декаду. Точка сопряжения обеих асимптот определяется равенством L() и L(), т. е.

,

откуда _с=1/T.

Величина _с определяется постоянной времени инерционного звена и называется сопрягающей частотой.

Асимптотическая ЛАХ, построенная по формулам (7.7), (7.8), представлена на рис. 7.2. Как видно из сравнения (7.6) с (7.7), (7.8), максимальное отклонение асимптотической ЛАХ от точной характеристики L_т() равно 3 дБ при частоте сопряжения _c (эта частота определяет полосу пропускания по уровню 0,7) и незначительно при других частотах.

Рис. 7.2

Логарифмическая фазо-частотная характеристика инерционного звена

()= –arctgT= –arctg(/_c).

Для сопрягающей частоты фаза

(_c)= –arctg(_c/_c)= –arctg1= – /4.

Переходная характеристика инерционного звена

, (7.9)

а импульсная

. (7.10)

Построенные по формулам (7.9), (7.10) характеристики при двух значениях постоянной времени (T₂>T₁) представлены на рис. 7.3. Из рисунка видно, что время переходного процесса, определяемое как время установления значения

,

тем больше, чем больше постоянная времени (t_п3T=3/_c).

Рис. 7.3

Примерами инерционного звена являются: RC (или RL) фильтры нижних частот; дискриминатор (например, частотный); генератор постоянного (или переменного) тока; электродвигатель и т. д., если уравнения их динамики можно представить в виде (7.2).

7. 3. Интегрирующее звено

Уравнение динамики интегрирующего звена имеет вид

_или ,(7.11)

где k_и– коэффициент передачи, имеющий размерность с ^–1.

Передаточная функция интегрирующего звена

, (7.12)

а частотные характеристики определяются выражениями

, (7.13)

. (7.14)

АЧХ и ФЧХ интегрирующего звена, построенные в соответствии с формулами (7.13) и (7.14), представлены на рис. 7.4.

Рис. 7.4

ЛАХ интегрирующего звена на основании (7.13) определяется как

L()=20lgK()=20lgk_и – 20lg.(7.15)

Это выражение подобно (7.8), поэтому ЛАХ интегрирующего звена является прямой линией, проходящей с наклоном –20дБ/дек через точку на оси частот =k_и.

Рис. 7.5

Логарифмическая фазо-частотная характеристика отличается от представленной на рис. 7.4 характеристики () лишь масштабом по оси частот (логарифмический вместо линейного).

Переходная характеристика интегрирующего звена представляет собой линейную функцию времени, а импульсная – ступенчатую функцию (рис. 7.5).

Примерами интегрирующего звена являются: интегратор на основе операционного усилителя, редуктор исполнительного устройства системы вращения антенны и др., если уравнения их динамики имеют вид (7.11).