15.1. Анализ нелинейной системы апч

Анализ проведем при следующих допущениях:

а) частотный дискриминатор – безынерционное нелинейное звено со статической характеристикой U(Δf);

б) помеха отсутствует ( на вход ЧД поступает только полезный сигнал);

в) частотная расстройка Δf_c=const (модель скачкообразного постоянного задающего воздействия);

г) собственный шум подстраиваемого генератора отсутствует (нестабильность частоты ПГ δf_г→0);

д) в качестве ФНЧ используется инерционное звено с передаточной функцией K_ф(p)=1/(1+Тp) (статическая система АПЧ).

Сформулированным предпосылкам соответствует структурная схема на рис. 15.1.

Рис.15.1

Дифференциальное уравнение для рассматриваемой системы имеет вид

(15.1)

Подставив в (15.1) выражение для K_ф(p), может записать

или

В установившемся режиме (при t→∞ или p→0) имеем

(15.2)

Нелинейное алгебраическое уравнение (15.2) может быть решено с использованием графо-аналитического метода. На рис.15.2 представлены: дискриминационная характеристика (кривая 1) и прямая линия 2 (правая часть уравнения), проведенная с наклоном – 1/k_г через точку Δf_c на оси абсцисс.

U(Δf)

U(Δf)

U(Δf)

1

А

б

Δf

Δf_c2

Δf₀₂

2

В

С

0

0

в

Δf

Δf₀₃=Δf_c

1

2

С

Рис.15.2

Как видно из рисунка, при малом значении Δf_c (рис. 15.2,а) имеется всего лишь одна точка А устойчивого равновесия, соответствующая решению уравнения 15.2: Δf=Δf₀, Δf₀ – остаточная частотная расстройка. При Δf_c1→0 значение Δf₀ совпадает со значением статической ошибки Δf_cт= Δf_c1/(1+K₀), найденным с использованием линейной теории (см. лекцию 6).

При значении частотной расстройки Δf_c2 (рис.15.2,б) имеется три точки: А, В и С, соответствующие решению уравнения (15.2). Причем точками устойчивого равновесия являются лишь две точки: А и С, а точка В соответствует состоянию, в котором система не может находиться в установившемся режиме. Покажем это используя алгебраический критерий устойчивости – критерий Гурвица. Полагая возмущение малым, что позволяет аппроксимировать ДХ в окрестности каждой из точек А, В и С линейными отрезками с крутизной k_A, k_В и k_С соответственно, для передаточной функции замкнутой (линеаризованной) системы можем записать

где (15.3)

­­– передаточная функция разомкнутой системы, соответствующая точкам А, В и С (),и– модуль и аргумент комплексного коэффициента передачи разомкнутой системы (k₁= k_А ,k₂ =k_В ,k₃ =k_С).

Используя (15.3), запишем систему уравнений (характеристические уравнения)

где (15.4)

Поскольку порядок уравнений (15.4) n=1, то необходимым и достаточным условием устойчивости является положительность коэффициентов (см. лекцию 7). Коэффициент>0всегда (Т имеет смысл постоянной времени), а коэффициент

(15.5)

Знак при втором слагаемом каждого из трех равенств определяется значением аргумента φ_i : φ₁ =0, φ₂= π, φ₃= π.

Таким образом, точки А и С являются точками устойчивого равновесия (система устойчива «в малом»), а точка В соответствует неустойчивой системе.

В третьем случае (рис.15.2,в) частотная расстройка такова, что существует лишь одна точка С устойчивого равновесия, расположенная за пределами раскрыва ДХ. Это означает, что захват по частоте при такой расстройке невозможен (система разомкнута).

На рис.15.3,а приведены графики ДХ и «обратной» регулировочной характеристики ПГ – прямой линии с наклоном –1/k_г, соответствующие предельно допустимому значению частотной расстройки. Прямая 1 соответствует значению а прямая 2 – значениюопределяющим соответственнополосу захвата и полосу удержания системы АПЧ. Каждая из указанных прямых является касательной по отношению к ДХ: прямая 1 – в области «нижнего» изгиба, а прямая 2 – в точке, соответствующей пиковому значению ДХ. При симметричной ДХ (нечетная симметрия) указанные полосы определяют возможности захвата и слежения без срыва при расстройке Δf любого знака.

U(Δf)

Δf₀

б

0

2Δf_зхв

Δf_с

Рис.15.3

Зависимость остаточной частотной ошибки (статической ошибки) f₀ от начальной расстройки Δf_с, построенная с использованием описанного графо- аналитического метода, представлена на рис.15.3,б (стрелками показано направление изменения расстройки Δf_с). В режиме слежения увеличение частотной расстройки от 0 до Δf_уд сопровождается сравнительно медленным ростом статической ошибки. При Δf_с= Δf_уд происходит срыв слежения: ошибка резко возрастает до значения, практически равного Δf_с (система размыкается). В режиме захвата система остается разомкнутой при уменьшении частотной расстройки вплоть до значения Δf_с= Δf_зхв (точки В и С на рис.15.2,б сближаются до полного совпадения в момент захвата). При этом существует единственное решение (точка А на рис.15.2,а) уравнения 15.2: статическая ошибка резко уменьшается и система переходит в режим слежения.

Полоса удержания системы АПЧ связана с параметрами ЧД и подстраиваемого генератора соотношением Δf_уд=U_maxk_г (см. лекцию 3), а полоса захвата всегда меньше , чем Δf_уд. Увеличение полосы удержания влечет и увеличение полосы захвата, которая наряду с точностью является важнейшей характеристикой системы АПЧ (как и любой другой следящей системы).