Контрольные вопросы

1. Сформулируйте критерии оптимальности фильтра Винера–Колмогороваи фильтраКалмана.

2. Какой фильтр является оптимальным для линейной модели задающего воздействия?

3. Какова структура «астатического» фильтра для системы второго порядка астатизма?

Тема 14: «оптимизация параметров радиотехнической следящей системы»

Задача оптимизации следящей системы при заданной структуре (известен вид передаточной функции) сводится к нахождению такой совокупности параметров системы (коэффициенты передачи, постоянные времени и пр. ), которая обеспечивает наилучшее (в смысле выбранного критерия) качество ее работы.

В зависимости от характера воздействия (детерминированное или случайное) в качестве критерия оптимальности системы используется условие минимума среднего квадрата (12.1), либо дисперсии (12.2) результирующей ошибки слежения.

Математическая формулировка задачи параметрической оптимизации сводится к нахождению экстремума (минимума) функции многих переменных (с₁, с₂, …, с_n). Оптимальные значения параметров с_iопт находятся как решение систем уравнений

(14.1)

или

(14.2)

при некоторых ограничениях (дифференцируемость функции, единственность экстремума и др.).

Подстановка значений с_iопт параметров в соответствующие выражения для шумовой полосы системы и среднего квадрата (или дисперсии) результирующей ошибки позволяет найти F_шопт и минимально достижимую ошибку (т. е. или_мин).

Рассмотрим пример параметрической оптимизации автоматической системы (рис. 14.1) по параметру k_и при воздействии и помехе– белом шуме с спектральной плотностьюN₀ Bт /Гц.

Оптимизацию проводим в соответствии с критерием (12.1), так как воздействие детерминированное.

Рис. 14.1

Используя результаты лекций 12, 13, для среднего квадрата ошибки (12.1) запишем

(14.3)

Шумовая полоса системы в соответствии с (12.5) равна

где

(14.4)

– табличный интеграл вида (12.9), а полиномы

соответствуют передаточной функции замкнутой системы K_з(p)=1/[1+p(1/K₁)].

Подставив значения параметров a₀=1/K₁, a₁=1 и b₀=1 в (14.4), находим I₁=K₁/2.

Шумовая полоса определяется добротностью системы по скорости K₁=k_дk_и:

(14.5)

Критерий оптимизации (14.1) в данном случае принимает вид

(14.6)

Решая уравнение (14.6), получаем

Оптимальное значение шумовой полосы и минимально достижимую ошибку находим подстановкой в выражение дляF_ш (14.5) и , (12.1):

(14.7)

Анализ выражения (14.7) показывает, что оптимальное значение полосы системы определяется скоростью изменения воздействия и интенсивностью шумаN₀ (уменьшается с ростом N₀).

Контрольные вопросы

1. Сформулируйте критерий оптимизации следящей системы при детерминированном и случайном воздействиях.

2. В чём суть параметрической оптимизации замкнутой САУ?

3. Как объяснить существование оптимальной шумовой полосы системы?

Лекция 15. Тема 15: «анализ нелинейных систем радиоавтоматики» План лекции

Нелинейные режимы работы САУ.

Основные методы анализа нелинейных САУ.

Графоаналитический метод анализа нелинейной системы АПЧ.

Определение полосы захвата и полосы удержания системы АПЧ графическим методом.

Нелинейной автоматической системой называется такая система, которая содержит хотя бы одно звено, описываемое нелинейным уравнением (см. лекцию1).

Анализ нелинейных систем РА связан с преодолением значительных математических трудностей, так как не существует единого точного метода решения нелинейных уравнений. Разработанные методы позволяют решать лишь частные задачи, связанные с анализом нелинейных АС. К числу таких методов относятся: метод фазовой плоскости, метод кусочно-линейной аппроксимации, метод гармонической линеаризации, метод статистической линеаризации, метод моделирования и др. Дадим краткую характеристику указанных методов.

Метод фазовой плоскости применяется для анализа нелинейных систем, описываемых уравнением порядка n≤2. На плоскости с координатами x и ( =dx(t)/dt) строится траектория движения системы. Плоскость и траекторию называют фазовыми. Чаще всего x и x определяют ошибку и ее производнуюė (например, для системы ФАПЧ – это фазовая и частотная ошибки соответственно). По виду фазовой траектории оценивается качество работы АС.

Метод кусочно-линейной аппроксимации используется в тех случаях, когда нелинейное звено ( например, дискриминатор) может полагаться безынерционным (см. лекцию1), а его характеристика (статическая) может быть аппроксимирована прямыми линиями на отдельных участках. В частном случае, когда прямолинейный участок один, имеем линейную систему (методы анализа линейных систем вам уже известны). На каждом линейном участке система может быть описана линейным дифференциальным уравнением и, следовательно, исследована известными методами. В точках «сопряжения» линейных участков решения «сшиваются»: значения переменных, соответствующие концу одного участка принимаются за начальные условия для последующего участка. Таким образом удается построить фазовую траекторию движения системы. Область применения данного метода ограничивается задачами, в которых число аппроксимированных участков нелинейной характеристики невелико (не превышает трех), а порядок дифференциального уравнения n≤2.

Метод гармонической линеаризации базируется на замене нелинейного звена линейным звеном с параметрами, которые определяются из условия их «эквивалентности» при гармоническом сигнале: равенство амплитуд первой гармоники сигнала. Данный метод применим в том случае, когда следящая система содержит ФНЧ, включенный на выходе дискриминатора и отфильтровывающий все гармоники входного сигнала, кроме первой.

Метод статистической линеаризации основан на замене нелинейного звена линейным звеном с эквивалентными статистическими характеристиками выходного сигнала: математическим ожиданием и дисперсией. В случае нелинейного дискриминатора это означает равенство дискриминационной и флуктуационной характеристик нелинейного элемента (см. лекцию10) и его статистического эквивалента – безынерционного звена с коэффициентом передачи k_д и сумматора, подключенного к выходу безынерционного звена. При этом нелинейность звена учитывается через зависимость коэффициента передачи k_д (крутизны ДХ) от уровня входного сигнала и отношения сигнал/шум, а также через зависимость дисперсии σ_д² флуктуаций на выходе дискриминатора от указанных параметров.

Метод моделирования на ЭВМ (иначе имитационное моделирование) является универсальным методом анализа нелинейных систем как при детерминированном воздействии, так и при случайном воздействии. Благодаря большим вычислительным возможностям современных компьютеров он позволяет определять статистические характеристики (средние значения ошибок слежения, среднеквадратические отклонения ошибок и пр.) при различных моделях сигналов и помех. При числе испытаний 10³ и более метод статистического моделирования позволяет с высокой достоверностью определить важнейшие характеристики АС на этапе ее проектирования (без проведения дорогостоящих и затратных по времени экспериментальных исследований).

Радиотехнические следящие системы, как правило, работают в условиях, когда начальное рассогласование (ошибка e) превышает «раскрыв» дискриминационной характеристики. Способность системы «захватывать» сигнал и осуществлять слежение при максимально допустимой расстройке характеризуют полосой захвата, определение которой для каждого типа систем имеет свои особенности, но в целом она определяется раскрывом ДХ. Устранение начальной расстройки (уменьшение ее до значений, определяемых полосой захвата) достигается применением специальной процедуры, называемой поиском сигнала. Другая особенность радиотехнических следящих систем связана с тем, что они всегда работают в условиях действия различного рода помех, затрудняющих осуществление захвата и приводящих, зачастую, к явлению, называемому срывом слежения. Это имеет место, когда расстройка по какой-либо причине выходит за пределы раскрыва ДХ (система «размыкается»). Анализ работы следящих систем в режимах, связанных с захватом сигнала или срывом слежения, проводится с использованием нелинейной модели (обобщенная структурная схема на рис.15.1).

Рассмотрим задачу анализа нелинейной АС на примере наиболее известной и широко применяемой в радиотехнике системы АПЧ.