10.1. Цифровое моделирование непрерывных систем

Для оценки качества переходного процесса в непрерывной системе можно использовать метод моделирования, в соответствии с которым непрерывная система заменяется дискретной, а дифференциальное уравнение, описывающее систему, – разностным уравнением. Последнее представляет собой программу рекуррентного вычисления переходного процесса. Применение ЭВМ позволяет легко решить это уравнение, т. е. рассчитать переходный процесс.

Дискретная передаточная функция цифровой модели получается из передаточной функции непрерывной системы путем замены оператора интегрирования 1/р некоторым оператором, соответствующим тому или иному численному методу интегрирования.

Наиболее часто используется замена

(10.1)

где Tинтервал дискретизации,z=e ^pTпеременнаяZ– преобразования (z ^{– 1}=e ^{– pT}оператор задержки наT).

Аппроксимация непрерывного интегратора дискретным (10.1) соответствует интегрированию по методу трапеций. При T0 переходные процессы в непрерывной системе и её цифровой модели будут близки друг к другу. На практике достаточно обеспечить условие Т<</_ср, где _ср  частота среза АЧХ непрерывной системы (иногда вместо _ср берётся значение полосы на уровне 0,7).

Полученную в результате замены (1.69) передаточную функцию цифровой модели системы необходимо представить в виде дробно-рациональной функции по степеням z ^{– 1}:

(10.2)

что позволяет определить коэффициенты а_i(i=1, 2, …,n) иb_i(i=1, 2, …,m) разностного уравнения. Передаточной функции (10.2) соответствует разностное уравнение для управляемой переменной

(10.3)

где y[k]текущее значение управляемой переменной,x[k–i] иy[k–i]предыдущие значения процессов на (k–i)-м шаге (при отрицательном аргументе равны нулю).

Рекуррентное уравнение (10.3) определяет переходный процесс при дискретном времени, кратном интервалу дискретизации Т. Качественные показатели переходного процесса (перерегулирование, быстродействие и др.) определяют по графику зависимости y[k] или e[k] (коэффициенты разностного уравнения для ошибки находят по передаточной функции K_e(p)).

10.2. Анализ качества переходного процесса по ачх замкнутой системы

Один из косвенных методов оценки качества переходного процесса основан на использовании АЧХ замкнутой системы. Если система неустойчива, то амплитуда колебаний на выходе системы достигает бесконечно большой величины (в реальных системах она ограничена из-за нелинейности характеристик). В этом случае АЧХ системы имеет разрыв (рис. 10.3, а).

В зависимости от соотношения параметров АЧХ устойчивой замкнутой системы либо имеет пик, либо является убывающей функцией частоты (кривые 1–4, рис. 10.3, а).

Уменьшение пика АЧХ соответствует уменьшению амплитуды и числа колебаний, совершаемых системой в переходном режиме. На рис. 10.3, б показаны переходные характеристики при различных соотношениях параметров системы в соответствии с характеристиками K_З(). Анализ кривых, имеющих одинаковые номера, свидетельствует о том, что с уменьшением максимума АЧХ процесс затухает быстрее. При убывающей характеристике K_З() (кривая 4) переходный процесс является монотонным (без перерегулирования).

Следовательно, пик АЧХ может служить косвенной оценкой величины перерегулирования и колебательности процесса. При этом отношение максимума характеристики K_З() к значению при =0 называется показателем колебательности М (для астатических систем K(0)=1 и М равен максимуму АЧХ). Частота, при которой АЧХ имеет максимум, называется собственной частотой ₀ (рис. 10.4). Если характеристика имеет пик, то точка пересечения кривой с линией K_З(0)=1 определяет частоту _ср замкнутой системы. Эта частота косвенно характеризует быстродействие системы. Чем больше частота _ср, тем выше быстродействие. При этом время переходного процесса

(10.4)

Для обеспечения малой колебательности и большого быстродействия системы необходимо выбрать её структуру и параметры так, чтобы АЧХ имела малый пик и широкую полосу пропускания (максимальное значение _ср ограничивается воздействием на систему помех). По техническим требованиям величина М должна выбираться в пределах 1,2–1,5, а _ср определяется по заданному времени t_п.

Рис. 10.3

Построение характеристики K_з() производят по АФХ разомкнутой системы, учитывая что

(10.5)

В соответствии с (10.5) значение K_з(_i) на какой-либо частоте _i определяется отношением длин (модулей) двух векторов K_p(j_i) и 1+K_p(j_i), определяемых точкой АФХ разомкнутой системы для частоты _i (рис. 10.5). Находя это отношение для других точек АФХ (при других частотах), можно построить характеристику K_з(_i).

Рис. 10.4

Из рисунка (10.5) видно, что при малых частотах (0) значение K_з()1, а при больших частотах (0) величина K_з()0. Чем ближе АФХ K_р(j) расположена к критической точке (–1, j0), тем больше значение K_з() по сравнению с единицей (в случае, когда АФХ проходит через критическую точку, знаменатель в (10.5) обращается в нуль, а сама АЧХ K_з()  в бесконечность).

В идеальной системе K_з()=1 для всех частот, а соответствующая этому АФХ имеет вид прямой, проходящей параллельно мнимой оси через точку –0,5 на оси абсцисс (рис. 10.5, б).

Если АФХ проходит при некоторых частотах левее (кривая 1), то АЧХ замкнутой системы имеет пик. В этом случае переходный процесс будет колебательным с перерегулированием. Точка пересечения АФХ с линией 2 определяет частоту среза _ср.

Если АФХ не заходит в область слева от линии 2 (кривая 3), то АЧХ замкнутой системы является убывающей функцией, а переходный процесс  монотонным.

Рис. 10.5