9.2. Алгебраические критерии устойчивости

Алгебраические критерии устойчивости позволяют по коэффициентам характеристического уравнения замкнутой системы определить, все ли корни находятся в левой полуплоскости, не решая этого уравнения. Наибольшее применение в радиоавтоматике находит критерий Гурвица, который формулируется с использованием определителей. При этом определители Гурвица составляются по коэффициентам характеристического уравнения (9.4). Используя коэффициенты этого уравнения, составляют главный определитель Гурвица. Для этого все коэффициенты, начиная с коэффициента при (n–1)-й производной, выписывают последовательно до свободного члена по главной диагонали. Столбцы вверх от главной диагонали дополняют коэффициентами с убывающими индексами. Места, которые должны быть заняты коэффициентами с индексом выше n и ниже 0, заполняют нулями.

Для уравнения n-й степени главный определитель Гурвица

(9.4)

Для того, чтобы характеристическое уравнение (9.1) имело все корни с отрицательной частью, главный определитель (9.4), а также все его диагональные миноры ₁, ₂, … должны быть положительными. Номер диагонального минора определяется номером коэффициента по диагонали, до которого составляется данный минор:

и т. д. (9.5)

Последний столбец главного определителя содержит только один коэффициент a_n , отличный от нуля, поэтому

.

Для положительных коэффициентов уравнения (необходимое условие устойчивости) a_n > 0, следовательно, _n > 0, если _{n – 1} > 0. Таким образом, следует вычислять миноры ₂, ₃, …, _{n – 1} .

Если все миноры, кроме предпоследнего, положительны, а минор _{n – 1} равен нулю, то система находится на границе устойчивости. Полагая все параметры системы, кроме одного (обычно это общее усиление системы), известными, можно определить критическое значение этого параметра, при котором система находится на границе устойчивости.

Поскольку характеристическое уравнение замкнутой системы определяется знаменателем передаточной функции, а все передаточные функции (независимо от входа и выхода) имеют один и тот же знаменатель (см. п. 8.3), то при анализе устойчивости системы используют ту передаточную функцию, которая имеет наиболее простой вид (простой числитель).

Лекция 10. Тема 9: «устойчивость автоматических

СИСТЕМ»

(продолжение)

План лекции

Частотные критерии устойчивости.

Запас устойчивости.

9.3. Частотные критерии устойчивости

Частотные критерии позволяют судить об устойчивости замкнутых АС по частотным характеристикам условно разомкнутых систем без определения корней характеристического уравнения замкнутой системы.

Частотные критерии являются графоаналитическими и обеспечивают наглядность инженерных расчётов. Они позволяют определить устойчивость замкнутой системы на основе экспериментально полученных частотных характеристик (АЧХ и ФЧХ) звеньев и разомкнутой системы в целом (т. е. в том случае, когда передаточные функции системы не известны).

В радиоавтоматике наибольшее применение находит критерий Найквиста, основанный на анализе амплитудно-фазовой частотной характеристики (АФХ) разомкнутой системы. Под АФХ понимают кривую на комплексной плоскости, представляющую геометрическое место конца вектора комплексного коэффициента передачи K_р(j) при изменении частоты от нуля до бесконечности (данную кривую называют также годографом).

Условие устойчивости по критерию Найквиста формулируется следующим образом: замкнутая система устойчива, если АФХ разомкнутой системы для 0     не охватывает точку с координатами (–1, j0).

Если система является астатической, т.е. содержит хотя бы одно интегрирующее звено, то для применимости критерия Найквиста необходимо дополнять АФХ дугой бесконечно большого радиуса и определять её расположение относительно точки (–1, j0). Критерий Найквиста при этом используется с учётом приведённой формулировки.

На рис. 9.2 приведены примеры АФХ устойчивых и неустойчивых статических (рис. 9.2, а) и астатических (рис. 9.2, б) систем.

Рис. 9.2

Для исследования устойчивости замкнутых систем по критерию Найквиста часто используют логарифмические частотные характеристики. При этом следует учитывать, что точке АФХ с координатами (–1, j0) соответствуют критические значения ЛАХ и ЛФХ дБ,_кp = –  рад (рис. 9.3).

Рис. 9.3