2.2.Линейные операторы

Остыловский А.Н. Лекция 2 (Линейные операторы) Определение. Примеры. Матрица оператора. Ранг оператора. Преобразование матрицы оператора при замене базиса. Алгебра операторов и алгебра матриц.

2.1. Определение. Примеры

Линейное отображение A пространства L в себя, т.е. A : L ! L, называют линейным оператором. Так как линейный оператор есть частный случай линейного отображения, то все утверждения, истинные для линейных отображений, истинны и для линейных операторов.

Пример 2.1. Пусть L = Rn пространство вещественных столбцов и A (n n)-матрица. Полагая A(x) = Ax, получим линейный оператор A : Rn ! Rn. Это важнейший пример линейного оператора.

Пример 2.2. Пусть a 2 E3 трехмерное пространство геометрических векторов. Положим

Из свойств векторного произведения следует, что A линейный оператор на E3.

Пример 2.3. Пусть оператор A : E3 ! E3 есть поворот вокруг некоторой оси на угол '. Векторы x и y, приведённые к общему началу, достроим до параллелограмма. Отметим в нём диагональ x + y. При повороте параллелограмм повернётся без деформации. Поэтому A(x + y) = A(x) + A(y). Ещё проще доказывается, что

A( x) = A(x).

Пример 2.4. Пусть L = C[a;b] линейное пространство функций дифференцируемых на отрезке [a; b]. Полагая для f(t) 2 L

Z t

A(f(t)) = f(x)dx;

a

получим линейный оператор на L. Другим примером служит оператор дифференцирования.

2.2. Матрица оператора

Пусть A : L ! L линейный оператор и e = (e1; : : : ; en) произ-

1

вольный базис в L. Разложим образы базисных векторов по базису e:

называется матрицей оператора A в базисе e.

Иными словами, матрица оператора в некотором базисе есть матрица столбцами которой являются координатные столбцы образов базисных векторов.

Матрица оператора есть своеобразный числовой (координатный) портрет оператора. Важность его видна уже из

Лемма 2.1. [A(x)]e = [A]e[x]e: Доказательство. Пусть

x = 1e1 + + nen;

т.е.

[x]e = [ 1; : : : ; n]T :

Тогда

A(x) = A( 1e1 + + nen) =

=1(a11e1 + + an1 en) + + n(a1ne1 + + annen) =

=(a11 1 + + a1n n)e1 + + (an1 1 + + ann n)en;

т.е.

2

Пример 2.5. Вернемся к примеру 2.2. Пусть e1; e2; e3 правый ортонормированный базис. Тогда для

a = a1e1 + a2e2 + a3e3; x = x1e1 + x2e2 + x3e3

=(a2x3 a3x2)e1 + (a3x1 a1x3)e2 + (a1x2 a2x1)e3:

Сдругой стороны, для координатного столбца вектора A(x) = [a; x]

Легко проверить (проверьте!), что столбцы матрицы A суть координатные столбцы векторов A(e1), A(e2), A(e3). Таким образом, векторное произведение может быть описано кососимметрической матрицей A.

2.3. Ранг оператора

Пусть A : L ! L линейный оператор. Ранг оператора A (обозначение Rg A) есть по определению dim Im A.

Лемма 2.2. Rg A = Rg [A]e.

Доказательство. Пусть e = (e1; : : : ; en) произвольный базис. Образ Im A есть линейная оболочка системы векторов Ae1; : : : ; Aen. Тогда dim Im A равна максимальному числу линейно независимых векторов этой системы. Но, ввиду изоморфизма пространства L пространству координатных столбцов его элементов, вектора из L линейно независимы тогда и только тогда, когда линейно независимы их координатные столбцы в любом (некотором) базисе. Столбцы матрицы [A]e и есть координатные столбцы векторов Ae1; : : : ; Aen. 2

3

2.4. Преобразование матрицы линейного оператора при замене базиса

Естественно ожидать, что один и тот же оператор имеет различные матрицы в различных базисах. Поэтому изучая оператор по его матрице в каком-либо базисе, мы получаем информацию не о самом операторе, а о паре базис-оператор. Например, определитель матрицы оператора представляет свойство оператора или пары базис-оператор? Если этот определитель одинаков во всех базисах, то он является характеристикой самого оператора. Таким образом, для изучения оператора по его матрице необходимо знать как преобразуется эта матрица при замене базиса.

Лемма 2.3. Пусть A ; B (n n)-матрицы и A = B для любого2 Rn. Тогда A = B.

Доказательство. Для столбцов ei единичной матрицы

Aei = Bei (i = 1 : : : ; n);

т.е. AE = BE. Отсюда A = B. 2

Теорема 2.1. Пусть e = (e1; : : : ; en), e0 = (e01; : : : ; e0n) два базиса

в линейном пространстве L и S матрица перехода от e к e0, т.е. e0 = eS. Тогда матрицы A и A0 оператора A : L ! L, соответствен-

но, в базисах e и e0 связаны соотношением

Доказательство. Пусть x произвольный вектор из L и y = Ax. Обозначим координатные столбцы

= [x]e; 0 = [x]e0 ; = [y]e; [y]e0 :

Домножив слева обе части этого равенства на S 1, получим

0 = S 1AS 0:

4

Отсюда и из (4), ввиду леммы 2.3, следует A0 = S 1AS. 2

Матрицы A и A0, связанные соотношением A0 = S 1AS для некоторой невырожденной матрицы S, называют подобными и пишут A0 A. Нетрудно проверить (проверьте!), что отношение подобия матриц есть отношение эквивалентности. Значит множество всех квадратных матриц порядка n разбивается на непересекающиеся классы подобных матриц. Согласно теореме 2.1 каждому линейному оператору соответствует в точности один класс подобных матриц, а подобные матрицы являются матрицами одного и того же линейного оператора в различных базисах. Следует понимать, что одна и та же матрица служит матрицей различных операторов в разных базисах. Таким образом, те свойства матрицы A оператора A характеризуют сам оператор A, которые присущи сразу всему классу матриц, подобных матрице A. Например,

Следствие 2.1. Определитель матрицы линейного оператора не зависит от выбора базиса.

Доказательство. jA0j = jS 1ASj = jS 1jjAjjSj = jS 1jjSjjAj = jSS 1jjAj = jEjjAj = jAj. 2

Значит определитель матрицы оператора можно называть определителем самого оператора.

2.5. Алгебра операторов и алгебра матриц

Обозначим через T11(L) множество всех линейных операторов действующих на n-мерном линейном пространстве L над полем P. Тождественный линейный оператор E такой, что E(x) = x для любого x 2 L, называется единичным оператором. Оператор, осуществляющий обратное отображение к отображению A : L ! L (если таковое существует), называется обратным к A и обозначается A 1. Оператор O такой, что O(x) = 0) для любого x 2 L, называется нулевым оператором.

Определим на T11(L) алгебраические операции сложения, композиции и умножения на числа из P следующим образом. Для операторов A; B и 2 P полагаем

(A + B)x = Ax + Bx; (A B)x = A(Bx); ( A)x = (Ax):

5

Из этого определения нетрудно получить (получите!) соотношения

Оператор A A кратко обозначают A2, оператор A A A обозначают A3 и т.д.

На множестве Mn(P) квадратных матриц порядка n над полем P определены известные операции сложения, умножения матриц и умножения матриц на числа. При этом соотношения (5) выполняются. Произвольное множество с определенными такими операциями, удовлетворяющими условиям (5), называется ассоциативной алгеброй. Оказывается между алгебрами T11(L) и Mn(P) имеется тесная связь изоморфизм, т.е. имеет место

Теорема 2.2. Пусть A ; B 2 T11(L), 2 P и A = [A]e, B = [B]e

соответственно, матрицы операторов A ; B в произвольном базисе e пространства L. Тогда,

1)[A + B]e = A + B;

2)[A B]e = A B;

3)[ A]e = A.

Доказательство. Докажем свойство 2). Для произвольного x 2 L ввиду леммы 2.1 имеем

[(A B)x] = [A(Bx)] = [A][Bx] =

(6)

= [A]([B][x]) = ([A][B])[x] = (AB) ;

где = [x] координатный столбец вектора x в выбранном базисе. С другой стороны по лемме 2.1

6

Концы цепочек (6) и (7) равны, так как их начала равны. Ввиду произвольности отсюда и из леммы 2.3 получаем [A B] = AB.

Свойства 1), 3) доказываются еще проще. 2

Упражнения

1.Докажите, что единичный оператор в любом базисе имеет единичную матрицу.

2.Докажите, что [A 1] = [A] 1 при условии существования A 1.

3.Найдите матрицу оператора поворота на плоскости в правом (левом) ортонормированном базисе.

4.Возможно ли:

а) f0g 6= Ker A = Im A; б) f0g 6= Ker A Im A; в) f0g 6= Im A = Ker A; г) Im A \ Ker A = f0g, Im A =6 f0g, Ker A =6 f0g?

5.Докажите, что след матрицы (сумма элементов главной диагонали) оператора равен сумме всех корней (включая комплексные) её характеристического многочлена, а определитель произведению корней.

6.Доказать, что если хотя бы одна из двух квадратных матриц A и B одинакового порядка невырождена, то матрицы AB и BA подобны. Привести пример вырожденных матриц A и B, для которых AB и BA не будут подобны. Доказать совпадение спектров матриц AB и BA и

вслучае вырожденности обеих матриц A и B.

7