2.5. Линейные отображения
.pdfОстыловский А.Н. Лекция 2.5. Линейные отображения.
Определение. Примеры. Композиция отображений. Обратное отображение. Ядро. Образ. Задание линейного отображения образом базиса. Размерность ядра и образа. Отношение эквивалентности. Изоморфизм линейных пространств.
1. Определение. Примеры
Пусть L и M линейные пространства размерностей n и m над одним и тем же полем P.
Определение 1. Отображение A : L ! M называется линейным, если
A(x + y) = A(x) + A(y); A( x) = A(x)
для всех x; y 2 L и 2 P.
Из этого определения легко следует, что для любых x1; x2; : : : ; xn 2 L и любых 1; 2; : : : ; n 2 P
A( 1x1 + 2x2 + + nxn) = 1A(x1) + 2A(x2) + + nA(xn): (1)
Из этого факта нетрудно получить
Лемма 1. Если вектора x1, : : :, xk линейно зависимы, то и вектора A(x1), : : :, A(xk) линейно зависимы.
Если A(x) = y, то говорят, что вектор y есть образ вектора x, а вектор x есть прообраз вектора y.
Рассмотрим важнейшие примеры линейных отображений. Пример 1. Пусть L n-мерное линейное пространство над по-
лем R и M = Rn. Зафиксируем в L какой-либо базис e = (e1; : : : ; en). Для произвольного x = 1e1 + + nen 2 L положим
A(x) = [ 1; : : : ; n]T 2 Rn;
т.е. поставим в соответствие каждому вектору x его координатный столбец в выбранном базисе. Получим линейное отображение
A : L ! Rn:
Пример 2. Пусть L = Rn и M = Rm пространства вещественных столбцов и A (m n)-матрица. Полагая A(x) = Ax, получим линейное отображение A : Rn ! Rm.
1
2. Композиция отображений
Пусть A1 : L1 ! L2 и A2 : L2 ! L3 линейные отображения. Определим их композицию A2 A1 : L1 ! L3:
(A2 A1)(x) = A2(A1(x)):
Нетрудно проверить (проверьте!) линейность отображения A2 A1. Пример 3. Линейное рекуррентное соотношение
xn+2 = an+2xn+1 + bn+2xn + cn+2; n = 0; 1; : : :
можно представить в матричной форме
Xn+2 = An+2Xn+1;
где |
|
2xn+13 |
|
|
2 1 |
|
|
3 |
|
|
2 xn |
3 : |
|
Xn+2 |
= |
; An+2 |
= |
n0 |
0 |
; Xn+1 |
= |
||||||
|
|
xn+2 |
5 |
|
|
an+2 |
b +2 |
cn+2 |
|
|
xn+1 |
5 |
|
|
|
4 1 |
|
|
4 0 |
0 |
1 |
5 |
|
|
4 1 |
Такое представление имеет некоторые полезные приложения. Ввиду ассоциативности матричного умножения имеем:
Xn+2 = An+2Xn+1 = An+2(An+1Xn) = = (An+2An+1 A2)X1:
Теперь можно выразить xn+2 через x1 и x0, не вычисляя x2, x3,..., xn+1. Кроме того, произведение An+2An+1 A2 легко распараллеливается методом сдваивания, например,
A9A8A7A6A5A4A3A2 = ((A9A8)(A7A6))((A5A4)(A3A2)):
При наличии достаточно мощного многопроцессорного компьютера произведение N матриц таким способом находится примерно в N= log2 N раз быстрее, чем при последовательном счете.
Если An = A постоянная матрица, то Xn+2 = An+1X1 и матрицу An+1 можно найти в явном виде, используя, например жорданову форму. Это позволяет проследить асимптотическое поведение последовательности xn.
2
3. Обратное отображение
Предположим, что отображение A : L ! M взаимно однозначно. Определим обратное отображение A 1 : M ! L. Если A(x) = y, то положим A 1(y) = x.
Отображение A 1 линейно. Действительно, пусть A(x) = u и
A(y) = v. Тогда A(x + y) = u + v. Отсюда A 1(u + v) = x + y =
A 1(u) + A 1(v). Ещё легче проверяется, что A 1( u) = A 1(u).
4. Ядро. Образ
Пусть A : L ! M линейное отображение. Его ядром называется множество
Ker A = fx 2 L j A(x) = 0g:
Для подпространства U пространства L определим образ Im U:
Im U = A(U) = fA(x) j x 2 Ug:
Упражнение. Докажите, что Ker A есть подпространство в L, а Im U, в частности, Im L подпространства в M.
Упражнение. Докажите, что обратное к отображению A : L ! M отображение существует тогда и только тогда, когда Ker A = 0 и dim L = dim M.
5. Задание линейного отображения образом базиса
Пусть A : L ! M линейное отображение и e = (e1; : : : ; en)какой-либо базис в L. Для произвольного x = 1e1 + + nen ввиду (1) имеем
A(x) = A( 1e1 + + nen) = 1A(e1) + + nA(en): (2)
Таким образом, для того, чтобы знать действие линейного отображения на всем пространстве L достаточно знать его действие на векторах какого-либо базиса. Обратно, произвольным образом задавая A(e1),
: : :, A(en) для какого-либо базиса в L, по формуле (2) можно продолжить отображение A на всё пространство L.
6. Размерность ядра и образа
Имеет место
Теорема 1. Пусть A : L ! M линейное отображение и e = (e1; : : : ; en) такой базис в L, что первые его k векторов
3
e1, : : :, ek образуют базис ядра Ker A. Тогда система векторов f = (A(ek+1); : : : ; A(en)) является базисом образа Im A.
Доказательство. Пусть y 2 Im A, т.е. y = A(x) для некоторого x 2 L. Разложим x по базису e:
x = 1e1 + + nen:
Тогда
y= A(x) = A( 1e1 + + nen) =
=1A(e1) + + kA(ek) + k+1A(ek+1) + + nA(en) =
=k+1A(ek+1) + + nA(en);
т.е. система f является системой образующих для Im A. Осталось показать, что система f линейно независима. Пусть
k+1A(ek+1) + + nA(en) = 0:
Отсюда
A( k+1ek+1 + + nen) = 0
и значит
k+1ek+1 + + nen 2 Ker A:
Тогда вектор k+1ek+1 + + nen можно разложить по базису Ker A
k+1ek+1 + + nen = 1e1 + + kek:
Тогда
1e1 + + kek k+1ek+1 nen = 0:
Так как (e1; : : : ; en) базис, то в последнем равенстве все коэффициенты равны нулю, в частности, k+1 = = n = 0. 2
Из этой теоремы немедленно получается следствие, которое ввиду его важности сформулируем в виде
Теорема 2. Пусть A : L ! M линейное отображение. Тогда
dim Ker A + dim Im A = dim L:
4
7. Отношение эквивалентности
Пусть A, B множества. Их прямым произведением называется множество A B всех упорядоченных пар ha; bi таких, что a 2 A, b 2 B. Иными словами
A B = fha; bi j a 2 A; b 2 Bg:
Бинарным (или двухместным) отношением на множестве M называется произвольное подмножество множества M M. При этом вместо hx; yi 2 пишут x y.
Примерами бинарных отношений на множестве действительных чисел служат отношения "x < y "x y "x < y2 + 1" и т.д.
Бинарное отношение на множестве M называют рефлексивным, если для любого x 2 M выполнено x x.
Бинарное отношение на множестве M называют симметричным, если для любых x; y 2 M из x y следует y x.
Бинарное отношение на множестве M называют транзитивным, если для для любых x; y; z 2 M из x y и y z следует x z.
Рефлексивное, симметричное и транзитивное отношение на множестве M называется отношением эквивалентности на множестве M. Отношение эквивалентности обычно обозначают символом " т.е. вместо x y пишут x y.
Пример 4.
1.Отношение подобия на множестве треугольников есть отношение эквивалентности.
2.Отношение "m делится на k"на множестве натуральных чисел транзитивно, рефлексивно, но не симметрично.
3.Отношение "x < y"на множестве действительных чисел транзитивно, но не симметрично и не рефлексивно.
4.Отношение принадлежности студентов к одной и той же студенческой группе на множестве студентов данного вуза есть отношение эквивалентности.
Пусть на множестве M задано отношение эквивалентности. Класс эквивалентности, порожденный элементом x 2 M, есть по определению
[x] = fy 2 M j y xg:
5
Предложение 1. Если x y, то [x] = [y].
Доказательство. Пусть z 2 [x]. Тогда z x. Отсюда и из x y следует z y. Тогда z 2 [y], т.е. [x] [y]. Аналогично доказывается включение [y] [x]. 2
Предложение 2. Если классы эквивалентности на множестве M пересекаются, то они совпадают.
Доказательство. Пусть [x] \ [y] 3 z. Тогда x z и z y. Отсюда x y. Теперь ввиду предыдущего предложения [x] = [y]. 2
Следствие 1. Если [x] 6= [y], то [x] \ [y] = ?.
Таким образом, отношение эквивалентности на множестве M разбивает M на непересекающиеся классы эквивалентности.
8. Изоморфизм линейных пространств
Пусть L и M линейные пространства над одним и тем же полем P. Если существует взаимно однозначное линейное отображение A : L ! M, то оно называется изоморфизмом, а пространства L и M изоморфными. При этом пишут L ' M. Изоморфизм L ! M вовсе не обязательно единственный. На множестве всех линейных пространств отношение изоморфизма есть бинарное отношение.
Так как A 1 есть снова линейное отображение, то из L ' M следует M ' L, т.е. отношение изоморфизма симметрично.
Пусть A : L ! M и B : M ! G суть изоморфизмы. Тогда B A : L ! G есть снова взаимно однозначное линейное отображение, т.е. изоморфизм. Значит отношение изоморфизма транзитивно.
Так как тождественное отображение E : L ! L является изоморфизмом, то отношение изоморфизма рефлексивно.
Таким образом, отношение изоморфизма на множестве всех линейных пространств есть отношение эквивалентности.
Теорема 3. Два конечномерных линейных пространства над одним и тем же полем изоморфны тогда и только тогда, когда их размерности одинаковы.
Доказательство. Пусть L n-мерное линейное пространство над полем P. Зафиксируем в L какой-либо базис e1; : : : ; en. Координатный столбец произвольного вектора x = 1e1 + + nen определен однозначно. Поэтому отображение A : L ! Pn
A(x) = [x]e = [ 1 : : : ; n]
6
взаимно однозначно. Кроме того для всех x; y 2 L и всех 2 P
[x + y]e = [x]e + [y]e; [ x] = [x]
т.е.
A(x + y) = A(x) + A(y); A( x) = A(x):
Таким образом, произвольное n-мерное линейное пространство над полем P изоморфно пространству Pn. Ссылка на транзитивность отношения изоморфизма завершает доказательство. 2
Алгебра изучает алгебраические системы, например, линейные пространства, с точностью до изоморфизма. Дело в том, что изоморфные системы неразличимы в языке этих систем. Всякое утверждение истинное (ложное) в одной системе истинно (ложно) в другой. Например, если в линейном пространстве L для всякого линейного отображения L ! L существует двумерное инвариантное подпространство, то и любое изоморфное L линейное пространство удовлетворяет этому свойству.
Упражнения
1. Докажите линейность композиции линейных отображений
A2 A1.
2. Докажите ассоциативность композиции отображений:
(A3 A2) A1 = A3 (A2 A1):
3.Докажите, что Ker A и Im A есть подпространства, соответственно, в L и M и dim Im U dim U.
4.Верно ли, что:
а) A(L1 \ L2) = A(L1) \ A(L2); б) A(L1 \ L2) A(L1) \ A(L2)?
7