2.12.Геометрические объекты

2. Распишем покомпонентно закон (4) преобразования матрицы линейного оператора при замене базиса. Получим

a0ij = kiakl jl :

Этот закон преобразования есть частный случай закона (10) при p = 1 и q = 1: Таким образом, линейный оператор есть тензор типа (1; 1):

В частности, тождественному преобразованию E в каждом базисе

соответствует единичная матрица, т.е. набор чисел

Таким образом, ji представляет собой простейший тензор типа (1,1). Тензор ji интересен тем, что его компоненты в любом базисе одни и те же.

3. Важным тензором типа (1; 1) является так называемый символ Кронекера, компоненты которого в некотором базисе составляют

Мы вновь видим, что тензор типа (1; 1), имеющий в одном базисе единичную матрицу, имеет единичную матрицу и в любом другом базисе.

4. Пусть : L L ! R билинейная форма, e и e0 = eS два базиса, S матрица перехода от e к e0. Тогда, как известно, матрицы B и B0 билинейной формы в базисах e и e0, соответственно,

11

связаны соотношением B0 = ST BS, или в компонентах

b0ij = bkl ik jl :

Тем самым, билинейная форма является тензором типа (0; 2):

5. Из закона (10) следует, что тензор типа (0; 0) есть совокупность, состоящая из одного числа, которое просто не изменяется при замене базиса. Иными словами, тензор типа (0; 0) есть числоинвариант. Нетрудно проверить, что инвариантами являются определитель матрицы линейного оператора, коэффициенты и корни характеристического многочлена линейного оператора. Однако не всякое число является инвариантом. Например, координата вектора число, но не инвариант.

6. Пусть A линейный оператор, действующий в Ln. Обозначим через [aij] его матрицу в произвольном базисе и сопоставим этому базису число

aii = a11 + a22 + + ann:

Убедимся, что aii инвариант. Действительно,

a0ii = piapq iq = ( pi iq)apq = pqapq = aqq:

Упражнения

1. Покажите, что геометрическими объектами являются: а) матрица билинейной формы; б) определитель матрицы линейного оператора.

2. Проверьте, что законы преобразования (определителя) матрицы линейного оператора, (определителя) матрицы билинейной формы удовлетворяют уравнению обобщённой ассоциативности (7).

3. Проверьте, что закон преобразования величины T из примера 11.4 п.1.2 при замене базиса не удовлетворяет уравнению (7).

12