Как решить систему линейных уравнений?
На данном уроке мы рассмотрим методы решения системы линейных уравнений. В курсе высшей математики системы линейных уравнений требуется решать как в виде отдельных заданий, например, «Решить систему по формулам Крамера», так и в ходе решения остальных задач. С системами линейных уравнений приходиться иметь дело практически во всех разделах высшей математики.
Сначала
немного теории. Что в данном случае
обозначает математическое слово
«линейных»? Это значит, что в уравнения
системы все переменные
входят в
первой степени: 
без
всяких причудливых вещей вроде 
и
т.п., от которых в восторге бывают только
участники математических олимпиад.
В
высшей математике для обозначения
переменных используются не только
знакомые с детства буквы 
.
Довольно
популярный вариант – переменные с
индексами: 
.
Либо
начальные буквы латинского алфавита,
маленькие и большие: 
Не
так уж редко можно встретить греческие
буквы: 
–
известные многим «альфа, бета, гамма».
А также набор с индексами, скажем, с
буквой «мю»: 
Использование
того или иного набора букв зависит от
раздела высшей математики, в котором
мы сталкиваемся с системой линейных
уравнений. Так, например, в системах
линейных уравнений, встречающихся при
решении интегралов, дифференциальных
уравнений традиционно принято использовать
обозначения 
Но
как бы ни обозначались переменные,
принципы, методы и способы решения
системы линейных уравнений от этого не
меняются. Таким образом, если Вам
встретится что-нибудь страшное типа
,
не спешите в страхе закрывать задачник,
в конце-концов, вместо 
можно
нарисовать солнце, вместо 
–
птичку, а вместо 
–
рожицу (преподавателя). И, как ни смешно,
систему линейных уравнений с данными
обозначениями тоже можно решить.
Что-то у меня есть такое предчувствие, что статья получится довольно длинной, поэтому небольшое оглавление. Итак, последовательный «разбор полётов» будет таким::
– Решение системы линейных уравнений методом подстановки («школьный метод»). – Решение системы методом почленного сложения (вычитания) уравнений системы. – Решение системы по формулам Крамера. – Решение системы с помощью обратной матрицы. – Решение системы методом Гаусса.
С системами линейных уравнений все знакомы из школьного курса математики. По сути дела, начинаем с повторения.
Ме́тод Га́усса[1] — классический метод решения системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ). Это метод последовательного исключения переменных, когда с помощью элементарных преобразований система уравнений приводится к равносильной системе треугольного вида, из которой последовательно, начиная с последних (по номеру) переменных, находятся все остальные переменные[2].
Классификация
Алгебраические уравнения:
Система линейных алгебраических уравнений
Система нелинейных уравнений
Дифференциальные уравнения:
Система дифференциальных уравнений (линейные/нелинейные, обыкновенные/в частных производных)
№16
Метод Крамера (правило Крамера) — способ решения квадратных систем линейных алгебраических уравнений с ненулевым определителем основной матрицы(причём для таких уравнений решение существует и единственно). Назван по имени Габриэля Крамера (1704–1752), придумавшего метод.
Пример
Система линейных уравнений:
Определители:
Решение:
