Обратимость матрицы перехода

1. Если |C|=0, то |C^*|=0 и строки матрицы C^* линейно зависимы. Поэтому из

следует, что v'₁,...,v'_n - линейно зависимая система в V, что приводит к противоречию с тем, чтоv'₁,...,v'_n - базис. Итак, мы показали, что  и существует обратная матрица C^-1 (тогда (C^*)^-1=(C^-1)^* ).

2. Другое доказательство обратимости матрицы C дает интерпретация матрицы B=C^-1 как матрицы перехода от второго базиса к первому.

Действительно, элементы v₁,...,v_n также выражаются как линейные комбинации элементов базиса{v'₁,...,v'_n} :

. Тогда . Так как , то

Так как {v₁,...,v_n} - базис в V, то (CB)^*=E, следовательно, CB=E, и поэтому B=C^-1.

3. Для любой обратимой матрицы , , и любого базиса {v₁,...,v_n} конечномерного линейного пространства _K V, , элементы , где

образуют базис линейного пространства _K V.

Действительно, в этом случае

т. е. n линейно независимых элементов v₁,...,v_n линейно выражаются через v'₁,...,v'_n. По основной лемме о линейной зависимости элементыv'₁,...,v'_n линейно независимы. Так как , то {v'₁,...,v'_n} - базис линейного пространства _K V.

Замена координат элемента линейного пространства при замене базиса

Пусть {v₁,...,v_n}, {v'₁,...,v'_n} - два базиса линейного пространства _K V, , , , - матрица перехода от первого базиса ко второму,

.Так как

то (x'₁,...,x'_n) = (x₁,...,x_n) (C^-1)^*, или

что эквивалентно

Пример 9.9.1. Пусть V= R³, v₁=(2,1,-3), v₂=(3,2,-5), v₃=(1,-1,1). Необходимо выяснить, образуют ли элементы v₁, v₂, v₃ базис в R³, и если да, то найти координаты строки x=(6,2,-7) в базисе {v₁,v₂,v₃}.

Решение

где {e₁,e₂,e₃} - стандартный базис в R³,

Строки v₁, v₂, v₃ образуют базис в R³ тогда и только тогда, когда матрица C обратима. Если матрица C обратима, то столбец координат строки x в базисе {v₁,v₂,v₃} равен

Для вычисления этого столбца применим алгоритм вычисления матрицы A^-1B в процессе работы которого проверяется, обратима ли матрица A=C :

Таким образом, матрица C обратима, (1,1,1) - координаты строки x в базисе {v₁,v₂,v₃}, x=v₁+v₂+v₃.

Этот же результат можно было получить, используя формулу (6,2,-7)(C^*)^-1=(1,1,1),

(здесь применяем элементарные преобразования столбцов).

№10

Элементарное определение

A • B = |A| |B| cos(θ)

Элементарное определение скалярного произведения используется, когда определения длины вектора и угла между векторами введены независимым образом до введения понятия скалярного произведения (как правило, так и поступают при изложении элементарной геометрии). В этом случае скалярное произведение определяется через длины сомножителей и угол между ними:

Свойства

• теорема косинусов легко выводится с использованием скалярного произведения:

• Угол между векторами:

• Оценка угла между векторами:

в формуле  знак определяется только косинусом угла (нормы векторов всегда положительны). Поэтому скалярное произведение > 0, если угол между векторами острый, и < 0, если угол между векторами тупой.

• Проекция вектора  на направление, определяемое единичным вектором :

,

• условие ортогональности^[2] (перпендикулярности) векторов  и :

• Площадь параллелограмма, натянутого на два вектора  и , равна