[Править]Неравенство Коши — Буняковского
Для
любых элементов 
и 
линейного
пространства со скалярным произведением
выполняется неравенство [1]
№11
Векторным
произведением вектора 
на
вектор 
в
пространстве 
называется
вектор 
,
удовлетворяющий следующим требованиям:
длина вектора
равна
произведению длин
векторов 
и 
на синус угла 
между
ними: 
;вектор
ортогонален каждому
из векторов 
и 
;вектор
направлен
так, что тройка векторов 
является
правой;в случае пространства
требуется
ассоциативность тройки векторов 
.
Обозначение:
Правые и левые тройки векторов в трёхмерном пространстве
Нахождение направления векторного произведения с помощью правила правой руки
Рассмотрим упорядоченную
тройку некомпланарных векторов 
в
трёхмерном пространстве. Совместим
начала этих векторов в точке 
(то
есть выберем произвольно в пространстве
точку 
и
параллельно перенесём каждый вектор
так, чтобы его начало совпало с точкой 
).
Концы векторов, совмещённых началами
в точке 
,
не лежат на одной прямой, так как векторы
некомпланарны. Рассмотрим плоскость 
—
единственную плоскость, проходящую
через концы векторов, совмещённых
началами в точке 
.
Тогда можно в плоскости 
провести
через концы векторов 
,
совмещённых началами в точке 
,
единственную окружность и
выяснить направление обхода трёх точек
на окружности, смотря на неё с одной из
сторон от плоскости.
Упорядоченная
тройка некомпланарных векторов 
в
трёхмерном пространстве называется правой,
если наблюдателю, находящемуся по одну
сторону с точкой 
от
плоскости 
,
обход концов приведённых в общее
начало 
векторов 
в
указанном порядке кажется совершающимся
в плоскости 
по
часовой стрелке.
B
противном случае 
— левая тройка.
В этом случае наблюдателю, находящемуся
с той же стороны от плоскости 
,
обход концов таких векторов будет
казаться совершающимся против
часовой стрелки.
Другое определение связано с правой рукой человека (см. рисунок), откуда и берётся название.
Все правые между собой (и левые между собой) тройки векторов называются одинаково ориентированными.
Заметим, что определения «правой» и «левой» тройки векторов не зависят от хиральности рассматриваемой системы координат; более того, они вообще не требуют задания в рассматриваемом пространстве какой-либо системы координат, как и не требует этого само векторное произведение.
Свойства [править]Геометрические свойства векторного произведения
Рисунок 1: Площадь параллелограмма равна модулю векторного произведения.
Рисунок 2: Объём параллелепипеда при использовании векторного и скалярного произведения векторов; пунктирные линии показывают проекции вектора c на a × b и вектора a на b × c, первым шагом является нахождение скалярных произведений.
Необходимым и достаточным условием коллинеарности двух ненулевых векторов является равенство нулю их векторного произведения.
Модуль векторного произведения
равняется
площади 
параллелограмма,
построенного на приведённых к общему
началу векторах 
и 
(см.
Рисунок 1)Если
— единичный
вектор,
ортогональный векторам 
и 
и
выбранный так, что тройка 
—
правая, а 
—
площадь параллелограмма, построенного
на них (приведённых к общему началу),
то для векторного произведения
справедлива формула:
Если
—
какой-нибудь вектор, 
—
любая плоскость, содержащая этот
вектор, 
—
единичный вектор, лежащий в плоскости 
и
ортогональный к 
, 
—
единичный вектор, ортогональный к
плоскости 
и
направленный так, что тройка
векторов 
является
правой, то для любого лежащего в
плоскости 
вектора 
справедлива
формула
При использовании векторного и скалярного произведений можно высчитать объём параллелепипеда, построенного на приведённых к общему началу векторах a, b и c (см. Рисунок 2). Такое произведение трех векторов называетсясмешанным.
На рисунке показано, что этот объём может быть найден двумя способами: геометрический результат сохраняется даже при замене «скалярного» и «векторного» произведений местами:
Величина векторного произведения зависит от синуса угла между изначальными векторами, поэтому векторное произведение может восприниматься как степень «перпендикулярности» векторов также, как и скалярное произведениеможет рассматриваться как степень «параллельности». Векторное произведение двух единичных векторов равно 1 (единичному вектору), если изначальные векторы перпендикулярны, и равно 0 (нулевому вектору), если векторы параллельны либо антипараллельны.