Молекулярно-кинетическая интерпретация явлений переноса

Будем считать, что молекулы движутся по трем направлениям X, Y и Z, так что на каждое направление в одну сторону плотность потока молекул составляет

(5)

где п — концентрация молекул. Эти потоки и являются переносчиками определенных физических величин?. Плотность потока величины G, будем обозначать .

Пусть через интересующую площадкуS молекулы будут переносить то значение величины G, котороеони имели на расстоянии X от площадки S. Т. е. будем предполагать, что последнее соударение молекулы испытывают наэтом расстоянии от S.

Общее уравнение переноса. Пусть величина G характеризует определенное молекулярное свойство, отнесенное к одной молекуле. Это может быть энергия, импульс, электрический заряд и др. Ясно, что при наличии градиента величины G должен возникнуть поток в сторону ее уменьшения.

Пусть величина G меняется только в направлении оси X, например. Площадку S будут пронизывать молекулы, движущиеся во встречных направлениях, их плотность потоков обозначим и.Причем они должныбыть равны друг другу (j' = j"), что бы не возникало газодинамических потоков и чтобы все процессы сводились только к переносу величины G.Тогда для результирующей плотности потока величины G можно записать:

(6)

Благодаря малости разность значенийпредставим в виде

(7)

С учетом этой формулы выражение (6) запишем так:

(8)

Это и есть общее уравнение переноса для любой величины G.

Здесь — концентрация молекул,— их средняя тепловаяскорость. Значения этих величин берутся в сечении S.

Применим это уравнение к явлениям переноса – теплопроводности. В этом явлении величиной G в (8) является средняя энергия теплового движения, приходящаяся на одну молекулу. Из теоремы о равнораспределении энергии по степеням свободы имеем , и тогда плотность потока тепла

(9)

Для упрощения этой формулы введем удельную теплоемкость . Для этого обратим внимание на то, что — это теплоемкость при постоянном объеме, рассчитанная на одну молекулу. Произведение данной величины на концентрацию п₀ дает теплоемкость единицы массы с_у, умноженную на плотность газа .Таким образом, учитывая, что, перепишем (9) в виде

(10)

Из сравнения этого выражения с формулой (4) видим, что теплопроводность

(11)

где, c_v — удельная теплоемкость, отнесенная к единице массы, Единицей теплопроводности является Вт/(м-К).

При заданной концентрации , теплопроводность зависит в основном от средней скорости . Из-за этого легкие газы обладают значительно большей теплопроводностью, чем тяжелые, поскольку . Например, при нормальных условиях кислород имеет теплопроводность , а водород —

Анализ коэффициентов переноса. Запишем три коэффициента рассмотренных явлений переноса:

(12)

Все три коэффициента, D, и, сростом температуры Т увеличиваются, так как .

Поскольку , а, то как вязкость, так и теплопроводность не зависят от концентрации, а значит и от давления (при неизменной температуре).

Приведенные выше расчеты и результаты относятся к так называемым стационарным задачам, когда распределение интересующей нас величины G зависит только от координат. Но процессы переноса (выравнивания величины G) зависят и от времени. Это обстоятельство приводит к необходимости решать нестационарные задачи, учитывающие зависимость величины G как от координат, так и от времени.

Для решения подобных уравнений необходимо знать начальные и граничные условия. Если они заданы и известен коэффициент переноса, то задача является чисто математической, и ее решение подробно рассматривается, в курсе математической физики.