3. Расчет задач по определению показателей надежности невосстанавливаемых резервируемых элементов систем электроснабжения

Задача 3.1.

Вероятность безотказной работы комплекта передающей аппаратуры после 1000 часов составляет 0,95. Второй, аналогичный комплект, включается в работу после отказа основного.

Рассчитать для моментов времени 250, 500 и 1000 часов для варианта с резервированием и без резервирования.

Решение:

По выражению (2.4) определим значение интенсивности отказа комплекта:

1/час;

По формуле (2.5) определим значение средней наработки до отказа комплекта при отсутствии резервирования:

час;

Из условия задачи следует, что основной комплект передающей аппаратуры резервируется однотипным комплектом по схеме с дублированием замещением. Для определения средней наработки до отказа системы с данным способом резервирования воспользуемся выражением [1,2,3,5]:

час; (3.1)

Для определения вероятности безотказной работы основного комплекта без резервирования воспользуемся выражением (2.2):

;

;

.

Для определения вероятности безотказной работы системы с дублированием замещением воспользуемся выражением из [1,2,3,5]:

. (3.2)

;

;

.

Как видно из расчетов вероятность безотказной работы системы с резервированием, даже после отработки 1000 часов, не снижается ниже 0,99.

Задача 3.2.

Система состоит из 10 равнонадежных элементов с основным соединением. Для каждого элемента Тср=1000 часов.

Определить Тср всей системы для трех вариантов – а) без резервирования; б) нагруженное дублирование; в) дублирование замещением.

Решение:

Определим значение результирующей интенсивности отказов ветви, состоящей из 10 элементов воспользовавшись выражением (2.6):

1/час,

где – интенсивность отказов и средняя наработка до отказа i-го элемента.

Определим среднюю наработку системы до отказа.

– для системы без резервирования по выражению (2.6):

час;

– для системы с нагруженным дублированием среднюю наработку до отказа определим с помощью формулы из [1,2,3,5]:

, (3.3)

где m – число резервных ветвей, в данном случае m=1.

час;

– для системы с дублированием замещением среднюю наработку до отказа определим по выражению (2.7):

час.

Задача 3.3.

Проектируется система электроснабжения промышленного района с собственной электростанцией. Предложено три варианта обеспечения электростанции генераторными агрегатами:

а) один генератор Р= 300 кВт с 1/час;

б) три генератора Р= 100 кВт с 1/час;

в) пять генераторов Р= 60 кВт с 1/час.

Суммарная мощность потребителей 170 кВт. Определить какая система имеет большую надежность после отработки 1000 часов, если она не допускает восстановления и перерыва в работе.

Решение:

Сравнение вариантов будем производить по значению вероятности безотказной работы.

Для первого варианта вероятность безотказной работы определим по (2.2):

;

Во втором варианте отказ одного генератора не приведет к отказу электроснабжающей системы, поскольку два генератора могут обеспечивать питание нагрузки мощностью 170 кВт.

В данном случае определение вероятности безотказной работы производим на основании того, что сумма вероятностей возможных состояний системы (вероятности работы и отказа) равна единице.

Тогда для системы, состоящей из трех генераторов, можем записать выражение:

, (3.4)

где Р1, Р2 и Р3 – вероятность безотказной работы соответственно первого, второго и третьего генератора; Q1, Q2 и Q3 – вероятность отказа соответственно первого, второго и третьего генератора.

Поскольку вероятности безотказной работы и вероятности отказов генераторов равны выражение (2.9) можно представить в виде:

; (3.5)

Преобразовав выражение (2.9) получим:

; (3.6)

В выражении (3.6) можно выделить слагаемый, описывающие состояние работы системы (с Р во второй и третьей степени) и ее отказа (с Q во второй и третьей степени).

. (3.7)

Из выражения (3.7) следует, что вероятность безотказной работы системы равна:

; (3.8)

Преобразуем выражение с учетом того, что Q=1-P:

; (3.9)

Окончательно получим:

; (3.10)

Решение выражения (2.14) с учетом (2.2) дает следующее выражение:

;

Тогда для второго варианта:

.

В третьем варианте отказать может два генератора, т.к. три генератора общей мощностью 180000 кВт могут обеспечивать питание нагрузки мощностью 170 кВт, при этом отказ электроснабжающей системы не произойдет.

Тогда для системы, состоящей из пяти генераторов, можем записать выражение, аналогичное (2.9):

(3.11)

Преобразовав выражение (2.15) получим:

(3.12)

В выражении (2.16) можно выделить слагаемый, описывающие состояние работы системы (с Р в третьей, четвертой и пятой степени) и ее отказа (с Q в третьей, четвертой и пятой степени).

Из выражения (2.16) следует, что вероятность безотказной работы системы равна:

(3.13)

Преобразуем выражение с учетом того, что Q=1-P:

(3.14)

Окончательно получим:

(3.15)

Решение выражения (2.19) с учетом (2.2) дает следующее выражение:

;

Тогда для третьего варианта:

.

В результате расчета получаем следующие вероятности безотказной работы для трех вариантов:

;

;

.

По результатам расчета можно сказать, что наибольшую вероятность безотказной работы имеет система с тремя генераторами, т.е. именно эта система более надежна после отработки 1000 часов.

Задача 3.4.

Рассматриваются два варианта питания двух районных подстанций одноцепными линиями электропередачи от одного источника питания. Для каждой линии заданы вероятности отказа.

Схема №1

QЛ1=0,1×10-3; QЛ2=0,15×10-3

Схема №2

QЛ1=0,1×10-3; QЛ2=0,15×10-3; QЛ3=0,18×10-3

Рис. 9. Схемы электрической сети для задачи 3.4

Определить во сколько раз надежность питания ПС2 выше во втором варианте по сравнению с первым.

Решение:

В схеме №1 питание ПС2 определяется работой последовательно соединенных линий Л1 и Л2. В этом случае вероятность безотказной работы двух последовательных линий можно определить по известному выражению:

(3.16)

Преобразование выражения (2.20) с учетом того, что P=1-Q дает следующее:

(3.17)

В результате получим выражение вероятности отказа питания ПС2:

(3.18)

После подстановки исходных данных получим:

;

В схеме №2 питание ПС2 осуществляется по двум параллельным ветвям: линии Л3 или последовательно соединенным линиям Л1 и Л2. Вероятность безотказной работы схемы №2 можно определить по выражению [1,3,5]:

, (3.19)

где – вероятность отказа ветви, состоящей из последовательно соединенных линий Л1 и Л2, которая определяемся по выражению (2.22).

В результате выражение (2.23) приобретает вид:

(3.20)

Подставив исходные данные получим:

.

Сравнение двух вариантов произведем по отношению вероятностей отказа для первого и второго вариантов:

раз.

Таким образом, по результатам расчета можно сказать, что с точки зрения обеспечения питания ТП2 более надежной является схема питания №2. Вероятность исчезновения питания на шинах ТП2 во втором варианте ниже в 5556 раз.

Задача 3.5.

Потребитель с максимальным током нагрузки 1000 А питается от трех независимых источников по отдельным линиям. Каждая линия имеет свой допустимый ток нагрузки, превышение которого приведет к отказу линии. Источники питания абсолютно надежны. Интенсивность отказа постоянная и для всех линий равна 1/км год.

Рис. 10. Схема электрической сети для задачи 3.5

Определить вероятность бесперебойного питания потребителя через один год, если система не допускает восстановления и перерыва в работе

Решение:

На первом этапе определим интенсивности отказа каждой из линий и вероятности безотказной работы за один год.

– для линии Л1:

;

;

– для линии Л2:

;

;

– для линии Л3:

;

.

Система электроснабжения может находиться в двух состояниях: работы (обеспечение питания потребителя) и отказа (отсутствует питание на шинах потребителя). Поскольку источники питания абсолютно надежны, то на надежность обеспечения питания потребителя будут влиять только линии.

Тогда для двух состояний системы, можем записать выражение:

, (3.21)

где Р1, Р2 и Р3 – вероятность безотказной работы соответственно первой, второй и третьей линии; Q1, Q2 и Q3 – вероятность отказа соответственно первой, второй и третьей линии.

Преобразовав выражение (2.24) получим:

(3.22)

В выражении (2.25) можно выделить слагаемые, описывающие состояние работы системы или ее отказа:

– питание потребителя осуществляется по линиям Л1, Л2 и Л3;

– питание потребителя осуществляется по линиям Л1 и Л2. Линия Л3 в неработоспособном состоянии. Однако, суммарный допустимый ток линий Л1 и Л2 – 1200 А, превышает максимальный ток нагрузки 1000 А;

– питание потребителя осуществляется по линиям Л1 и Л3. Линия Л2 в неработоспособном состоянии. Однако, суммарный допустимый ток линий Л1 и Л3 – 1600 А, превышает максимального ток нагрузки;

– питание потребителя не может осуществляться по линии Л1. Линии Л2 и Л3 в неработоспособном состоянии. Максимального ток нагрузки 1000 А превышает допустимый ток линии Л1 – 500 А;

– питание потребителя осуществляется по линиям Л2 и Л3. Линия Л1 в неработоспособном состоянии. Однако, суммарный допустимый ток линий Л2 и Л3 – 1800 А, превышает максимального ток нагрузки;

– питание потребителя не может осуществляться по линии Л2. Линии Л1 и Л3 в неработоспособном состоянии. Максимального ток нагрузки 1000 А превышает допустимый ток линии Л2 – 700 А;

– питание потребителя осуществляется по линии Л3. Линии Л1 и Л2 в неработоспособном состоянии. Однако, допустимый ток линии Л3 – 1100 А, превышает максимальный ток нагрузки;

– питание потребителя не может осуществляться. Линии Л1, Л2 и Л3 в неработоспособном состоянии.

На основании рассмотренных режимов работы системы электроснабжения выделим слагаемые в выражении (2.25), которые определяют вероятность безотказной работы системы:

; (3.23)

Преобразуем выражение с учетом того, что Q=1-P:

(3.24)

Подставив в (2.27) раннее найденные значения получим:

Следовательно, вероятность бесперебойного питания потребителя через год эксплуатации составляет 0,999954.