- •Московский государственный университет путей сообщения Московский Институт Инженеров Транспорта
- •2014 Содержание
- •Введение
- •1.Расчет показателей надежности невосстанавливаемых нерезервированных систем
- •2.Расчет показателей надежности невосстанавливаемых резервированных систем
- •3.Расчет показателей надежности восстанавливаемых систем
2.Расчет показателей надежности невосстанавливаемых резервированных систем
В резервированной системе отказ какого-либо элемента не обязательно приводит к отказу всей системы. Типичным случаем является логически параллельное соединение элементов, при котором система отказывает тогда, когда отказывают все ее элементы. Такой тип резервирования называют постоянным или нагруженным m-кратным резервированием. В этом случае все элементы выполняют одну и ту же функцию, работают одновременно и равнонадежны. По теореме умножения вероятностей имеют место следующие выражения:
где q(t), p(t) – соответственно вероятности отказа и безотказной работы одного элемента.
Если для элементов справедлив экспоненциальный закон распределения надежности, то:
.
Для высоконадежных систем, у которых lt<0,1 и, имеем:
.
Среднее время наработки до отказа резервированной системы:
,
где - среднее время наработки до отказа основной системы или любой из резервных систем.
Кроме m-кратного резервирования (m целое число) используют также резервирование с дробной кратностью, которое называют логическим соединением «k из n». Это означает, что система работоспособна, если работоспособны не менее k элементов. На рис.2.2(б) приведена структурная схема «k из n» с кратностью резервирования m = .
Вероятность безотказной работы системы с последовательно-параллельной структурой, изображенной на рис.2.1(а) наиболее удобно выразить постепенным упрощением ее схемы.
Рис. 2.1. Этапы последовательного упрощения последовательно-параллельной структуры
Заменим сначала параллельные подсистемы 2 и 3 новой подсистемой 23 (рис.2.1(б)). Тогда вероятность безотказной работы новой подсистемы:
Теперь заменим последовательные подсистемы 1 и 23 новой подсистемой 123 (рис.2.1(в)). Тогда вероятность безотказной работы этой подсистемы:
.
Далее заменим последовательные подсистемы 4 и 5 одной подсистемой 45 с вероятностью безотказной работы:
Наконец, заменив параллельные подсистемы 123 и 45 новой подсистемой 12345 (рис.2.1(г)) получим вероятность безотказной работы этой подсистемы:
что соответствует вероятности безотказной работы системы.
Часто не требуется знать точное значение вероятности безотказной работы, а достаточно только оценить эту величину снизу и сверху. Тогда можно применить приближенный метод минимальных путей и сечений.
Нижняя граница надежности Pн(t) определяется как вероятность безотказной работы гипотетической последовательно-параллельной системы, составленной из последовательно включенных групп элементов, соответствующих всем минимальным сечениям, а верхняя граница Pв(t) – системы из параллельно включенных групп элементов, соответствующих всем минимальным путям. Таким образом:
где n, m – число путей и сечений системы; P(Ai), P(Bj) – соответственно вероятности событий Ai и Вj.
Задача 2.1.
Дана резервированная система с постоянным резервом кратности m=2. Элементы системы имеют постоянную интенсивность отказа λ=0,05 час-1. Найти показатели надёжности системы: вероятность безотказной работы, плотность распределения времени до отказа, интенсивность отказа, среднее время безотказной работы.
Решение:
Воспользуемся формулами
Получим:
Табулируя функции, найдём искомые показатели надёжности, представленные в таблице 1
Таблица 1
Показатели надёжности резервированной системы
с постоянно включённым резервом и кратностью резервирования m=2
t,час |
Pc(t) |
fc(t) |
λс(t) |
0 |
1 |
0 |
0 |
5 |
0,9892 |
0,005716 |
0,005778 |
10 |
0,9390 |
0,014085 |
0,014999 |
15 |
0,8531 |
0,019726 |
0,023122 |
20 |
0,7474 |
0,022049 |
0,029501 |
25 |
0,6367 |
0,021878 |
0,034357 |
30 |
0,5311 |
0,020200 |
0,038031 |
35 |
0,4359 |
0,017794 |
0,040814 |
40 |
0,3535 |
0,015177 |
0,042930 |
45 |
0,2840 |
0,012653 |
0,044546 |
50 |
0,2265 |
0,010374 |
0,045784 |
Среднее время безотказной работы системы будет равно:
Задача 2.2.
Требуется определить кратность резервирования системы с постоянным резервом, обеспечивающим вероятность безотказной работы 0,96 в течение времени t=150 час. Элементы системы равнонадёжны и имеют экспоненциальное распределение со средним временем безотказной работы Т=300 час. Найти также кратность резервирования для системы, элементы которой имеют распределение Рэлея с тем же средним.
Решение.
Кратность резервирования может быть определена по формуле:
,
где P(t) – вероятность безотказной работы элемента в течение времени t; Pc(t) = 0,96 – вероятность безотказной работы системы в течение времени t.
-для экспоненциального распределения, где λ1=1/Т –интенсивность отказа элемента.
-для распределения Рэлея, где–параметр распределения
В течение времени t = 150 час получим:
-для экспоненциального закона:
-для закона Рэлея:
Подставляя значения P1(t) и P2(t) в формулу для кратности резервирования m, получим:
-для экспоненциального распределения:
-для распределения Рэлея:
Округляя до целых чисел в большую сторону, получим m1 = 3, m2 = 1. Таким образом, для достижения заданной надёжности в первом случае потребуется 3 резервных элемента, а во втором случае – только один.
Задача 2.3.
Вероятность безотказной работы серверного оборудования после 1000 часов составляет 0,95. Второй, аналогичный комплект, включается в работу после отказа основного. Рассчитать Тср и Р(t) для моментов времени 250, 500 и 1000 часов для варианта с резервированием и без резервирования.
Решение:
Определим значение интенсивности отказа комплекта:
Определим значение средней наработки до отказа комплекта при отсутствии резервирования:
Из условия задачи следует, что основной сервер резервируется однотипным сервером по схеме с дублированием замещением. Для определения средней наработки до отказа системы с данным способом резервирования воспользуемся выражением:
Для определения вероятности безотказной работы основного сервера без резервирования воспользуемся выражением:
;
;
Для определения вероятности безотказной работы серверного оборудования с дублированием замещением воспользуемся выражением:
;
;
.
Как видно из расчетов, вероятность безотказной работы серверного оборудования с резервированием, даже после отработки 1000 часов, не снижается ниже 0,99.
Задача 2.4.
Система состоит из 10 равнонадежных элементов с основным соединением. Для каждого элемента Тср=1000 часов.
Определить Тср всей системы для трех вариантов – а) без резервирования; б) нагруженное дублирование; в) дублирование замещением.
Решение:
Определим значение результирующей интенсивности отказов ветви, состоящей из 10 элементов воспользовавшись выражением:
,
где λi и Тсрi - интенсивность отказов и средняя наработка до отказа i-го элемента.
Определим среднюю наработку системы до отказа.
– для системы без резервирования по выражению:
;
– для системы с нагруженным дублированием среднюю наработку до отказа определим с помощью формулы:
,
где m – число резервных ветвей, в данном случае m=1.
– для системы с дублированием замещением среднюю наработку до отказа определим по выражению:.