III.Статистические закономерности.Распределение Максвелла.Скорости молекул.

В механике движение тела однозначно определяется заданными начальными условиями и силами, действующими на тело во время его движения. Такие явления описываются динамическими закономерностями.

В молекулярной физике рассматриваются явления, вызванные действием колоссального количества частиц (в 1см³газа при нормальных условиях 2,6910¹⁹молекул). Каждая частица движется по своему пути с различной во времени скоростьюV. Рассчитать такой путь практически невозможно даже для отдельной молекулы. Для решения задач молекулярной физики, как уже говорилось, используютсястатистические закономерности.

В статистической физике рассматривается конкретная молекулярная модель и к ней применяются математические методы статистики, основанные на теории вероятности.

Статистические закономерности, в отличии от динамических, не определяются начальными условиями. Они не дают возможности вычислить какой-либо параметр, например, скорость в данный момент времени «меченой» молекулы, а позволяют вычислить, какой процент молекул газа при данной температуре имеют скорости, лежащие в интервале от Vдо (V+dV).

На основании теории вероятности Максвелл установил закономерность, по которой можно определить число молекул газа dN, скорости которых при данной температуре заключены в некотором интервале скоростей отVдо (V+dV).

dNdV

dN=ydV, (1)

где y=f(V) – называетсяфункцией распределения.

Максвелл вывел аналитическое выражение функции у:

, (2)

где N– общее число молекул газа;

Т – абсолютная температура;

V– скорость молекулы;

k– постоянная Больцмана;

m– её масса.

Если построить функцию распределения, то получим кривую Максвелловского распределения. Кривая Максвелла имеет max, которому соответствует скорость, называемаяневероятной скоростью Vн. Чтобы получить выражение Vн, надо взять первую производную от у поV(dy/dV) и приравнять её к нулю, тогда получим:

=0 (3)

(4)

Как видно из уравнений (2) и (4), конкретный вид кривой и величина V_нзависит лишь от массы молекулыmи температуры Т.

Площадь между кривой и осью Vпропорциональна общему числу молекулN.

Кривая Максвелла ассиметрична: правая часть кривой более полога чем левая, следовательно, площадь между пологоспадающей частью кривой и осью Vбольше, чем левая.Следовательно: в газе имеется большее число «быстрых» молекул со скоростями, превышающими наивероятнейшую, чем «медленных» молекул со скоростями, меньшимиV_н.

Согласно уравнения (4), чем больше Т, тем больше Vн, тогда максимум кривой смещается вправо, т. е. с ростом температуры возрастает относительное число молекул, обладающих большими скоростями (т.к.S1=S2~ N). Ассиметрия кривой Максвелла также означает, что –средней арифметическойвсех скоростей, т. к. в газе существует преобладание молекул со скоростями,

превышающими V_ни следовательно. Решение Максвелловской функции у даёт:

(5)

Экспериментальная проверка закона распределения Максвелла была впервые осуществлена Отто Штерном в 1920 году, а затем Ламмертом в 1929.

Примеры: О₂:500 м/с при Т = 300⁰К

Н₂:2000 м/с при Т = 300⁰К

Максвелловское распределение в системе молекул устанавливается всегда, если система приходит в равновесное состояние. Но оно является не единственным для систем частиц.

Существуют распределения:

а) Больцмана – распределение молекул по энергиям во внешнем поле;

б) Бозе-Эйнштейна – квантовое распределение молекул при низких температурах;

в) Ферми-Дирака – квантовое распределение для электронного газа (электронов в металле).