Крипто / Билет №9
.docxБилет №9
Схема Эль-Гамаля (Elgamal) — криптосистема с открытым ключом, основанная на трудности вычисления дискретных логарифмов в конечном поле. Криптосистема включает в себя алгоритм шифрования и алгоритм цифровой подписи. Схема Эль-Гамаля лежит в основе бывших стандартов электронной цифровой подписи в США (DSA) и России (ГОСТ Р 34.10-94).
Схема была предложена Тахером Эль-Гамалем в 1984 году.[1] Эль-Гамаль разработал один из вариантов алгоритма Диффи-Хеллмана. Он усовершенствовал систему Диффи-Хеллмана и получил два алгоритма, которые использовались для шифрования и для обеспечения аутентификации. В отличие от RSA алгоритм Эль-Гамаля не был запатентован и, поэтому, стал более дешевой альтернативой, так как не требовалась оплата взносов за лицензию. Считается, что алгоритм попадает под действие патента Диффи-Хеллмана.
Генерация ключей
-
Генерируется случайное простое число
длины 
битов. -
Выбирается случайный примитивный элемент
поля 
. -
Выбирается случайное целое число
такое,
что 
. -
Вычисляется
. -
Открытым ключом является тройка
,
закрытым ключом — число 
.
Шифрование[править | править исходный текст]
Сообщение 
шифруется
следующим образом:
-
Выбирается сессионный ключ — случайное целое число
такое,
что 
-
Вычисляются числа
и 
. -
Пара чисел
является шифротекстом.
Нетрудно
видеть, что длина шифротекста в схеме
Эль-Гамаля длиннее исходного
сообщения 
вдвое.
Расшифрование[править | править исходный текст]
Зная
закрытый ключ 
,
исходное сообщение можно вычислить из
шифротекста 
по
формуле:
При этом нетрудно проверить, что
и поэтому
.
Для практических вычислений больше подходит следующая формула:
Криптостойкость и особенности[править | править исходный текст]
В настоящее время криптосистемы с открытым ключом считаются наиболее перспективными. К ним относится и схема Эль-Гамаля, криптостойкость которой основана навычислительной сложности проблемы дискретного логарифмирования, где по известным p, g и y требуется вычислить x, удовлетворяющий сравнению:
ГОСТ Р34.10-1994, принятый в 1994 году в Российской Федерации, регламентировавший процедуры формирования и проверки электронной цифровой подписи, был основан на схеме Эль-Гамаля. С 2001 года используется новый ГОСТ Р 34.10-2001, использующий арифметику эллиптических кривых, определенных над простыми полями Галуа. Существует большое количество алгоритмов, основанных на схеме Эль-Гамаля: это алгоритмы DSA, ECDSA, KCDSA, схема Шнорра.