Глава I. Основные понятия

1.1 Основные определения

Что такое прямая? Что на чертеже мы можем изобразить лишь часть прямой, а всю прямую мы представляем себе простирающейся бесконечно в обе стороны.

В курсе элементарной геометрии не дается определения прямой, так, как прямая является основным, неопределяемым геометрическим объектом. Основные свойства прямой задаются аксиомами, а остальные выводятся из аксиом логическим путем. Однако, пользуясь понятием коллинеарности векторов, можно определить геометрическое место всех точек, принадлежащих прямой. В самом деле, если – произвольная точка прямой l, а – ненулевой вектор, параллельный ей, то, очевидно, каждая точкаM прямой характеризуется условием: вектор M коллинеарен . Обратно, если векторM коллинеарен , то точкаM принадлежит прямой l. Таким образом, точка M принадлежит прямой l тогда и только тогда, когда коллинеарен. Это определение может быть использовано для того, чтобы написать уравнение геометрического места точек, принадлежащих прямой, или коротко уравнение прямой.

В аналитической геометрии термин «прямая» понимается в смысле совокупности всех точек, принадлежащих некоторой прямой, «уравнение прямой» понимается в смысле уравнения геометрического места этих точек.¹

(Плоскость - одно из основных понятий геометрии. При систематическом изложении геометрии понятие плоскость обычно принимается за одно из исходных понятий, которое лишь косвенным образом определяется аксиомами геометрии. Некоторые характеристические свойства плоскость:

1) плоскость есть поверхность, содержащая полностью каждую прямую, соединяющую любые её точки;

2) плоскость есть множество точек, равноотстоящих от двух заданных точек².

Лит.: Ефимов Н. В., Высшая геометрия, 5 изд., М., 1971; Гильберт Д., Основания геометрии, пер. с нем., М. — Л., 1948)

Пространство в математике, логически мыслимая форма (или структура), служащая средой, в которой осуществляются другие формы и те или иные конструкции. Например, в элементарной геометрии плоскость или пространство служат средой, где строятся разнообразные фигуры. В большинстве случаев в пространство фиксируются отношения, сходные по формальным свойствам с обычными пространственными отношениями (расстояние между точками, равенство фигур и др.), так что о таких пространствах можно сказать, что они представляют логически мыслимые пространственно-подобные формы.

1.2 Различные способы задания прямой на плоскости.

(Сейчас я перечислю основные способы, которыми можно задать конкретную прямую на плоскости. Это знание очень полезно с практической точки зрения, так как на нем основывается решение очень многих примеров и задач. Уравнение прямой линии на плоскости в заданном на ней аффинном или ортонормированном репере в зависимости от способа задания может принимать различные виды.

А) Прямая l задана начальной точкой М₀(;и направляющим вектором=():

– параметрические уравнения (t – параметр);

=0, (если– канонические уравнения.

Б) Прямая l задана двумя различными точками :

=0 или =(если).

В) Прямая l задана величинами a и b направленных отрезков, отсекаемых ею на осях Ox и Oy:

+=1 - уравнение прямой «в отрезках».

Г) Прямая l задана начальной точкой () и угловым коэффициентомk:

y-

y=kx+b (здесь

y=kx (здесь

Д) Прямая l задана начальной точкой :

Последнее уравнение может быть использовано только для случая, когда заданный репер является ортонормированным.

Каждое из указанных выше уравнений можно привести к следующему виду:

Ax+By+C=0 (1)

Уравнение (1) называется общим уравнением прямой.

Из этого уравнения можно определить координаты двух векторов этой прямой: направляющего (||l) и нормального вектора (l):

1.3 Различные способы задания прямой в пространстве.

Уравнение плоскости в трехмерном пространстве в заданном аффинном или ортонормированном репере в зависимости от способа задания может принимать различные виды.

А) Плоскость П задана начальной точкой и парой направляющих векторов() и() (не параллелен). Такую пару векторов будем называть направляющей площадкой плоскости П и использовать для нее символ <,>.

– параметрические уравнения плоскости (u, v - параметры);

= 0 – каноническое уравнение плоскости.

Б) Плоскость П задана тремя точками:

, ,.

= 0 – уравнение плоскости, заданной тремя точками.

В) Плоскость П задана величинами a, b, с направленных отрезков, отсекаемых ею на осях Ox, Oy, Oz декартовой системы координат.

+ += 1 – уравнение плоскости «в отрезках».

Г) Плоскость П задана начальной точкой нормальным вектором=(

)=0 – это уравнение возможно лишь для случая, когда заданный репер ортонормированный.)

Каждое из записанных выше уравнений может быть приведено к виду:

Ax+By+Cz+D=0, которое называется общим уравнением плоскости.

Зная общее уравнение плоскости, легко определить координаты её нормального вектора:

=(A;B;C).

Э.Ф. Капленко, часть 2, сборник задач по геометрии. С 27-28, 54-55