Задача 10

Докажите, что в правильной треугольной пирамиде скрещивающиеся рёбра перпендикулярны.²¹

Решение:

Пусть ABCD — правильная треугольная пирамида (рис. 10). Докажем, например, что AD ⊥ BC.

Рис. 11. К задаче

Пусть точка M — середина ребра BC. Рассмотрим плоскость ADM. Ясно, что высота DH нашей пирамиды лежит в этой плоскости (поскольку H лежит на медиане AM).

Докажем, что прямая BC перпендикулярна плоскости ADM. Для этого нам нужно предъявить две пересекающие прямые, лежащие в плоскости ADM и перпендикулярные BC. Какие же это прямые?

Во-первых, это прямая DH. В самом деле, будучи высотой пирамиды, DH перпендикулярна плоскости ABC. По определению это означает, что DH перпендикулярна любой прямой, лежащей в плоскости ABC - в частности, прямой BC.

Во-вторых, это прямая AM. Действительно, будучи медианой равностороннего треугольника ABC, отрезок AM является его высотой и потому перпендикулярен BC.

Итак, мы убедились, что BC ⊥ DH и BC ⊥ AM. По признаку перпендикулярности прямой и плоскости мы заключаем, что BC ⊥ ADM. Стало быть, BC перпендикулярна любой прямой, лежащей в плоскости ADM — в частности, прямой AD. Это мы и хотели доказать.

Обратите внимание, какая схема рассуждений реализована в данной задаче. Допустим, мы хотим доказать, что прямая l перпендикулярна прямой m. Действуем следующим образом:

1. Берём подходящую плоскость π, в которой лежит прямая l.

2. В плоскости π находим две пересекающиеся прямые a и b, такие, что m ⊥ a и m ⊥ b.

3. По признаку перпендикулярности прямой и плоскости делаем вывод, что m ⊥ π.

4. По определению перпендикулярности прямой и плоскости заключаем, что прямая m перпендикулярна любой прямой, лежащей в плоскости π. В частности, m ⊥ l, что и требовалось.

Эта схема часто работает во многих задачах.

Задача 11

Найти точку пересечения прямой и плоскости

2x-y+z+4=0.²²

Решение:

Рассмотрим взаимное расположение прямой и плоскости:

3· 2 + 2· (-1) + (-1)·1 = 3 ≠ 0 , значит прямая и плоскость пересекается. Перепишем уравнение прямой в параметрическом виде:

Подставим эти уравнения прямой в уравнения плоскости, найдём значение параметра t:

Чтобы найти координаты точки пересечения прямой и плоскости подставим значение t в параметрические уравнения прямой:

Ответ: - точка пересечения прямой и плоскости.

Задача 12

Найти проекцию точки А (3;2;-1) на прямую .²³

Решение:

Составим уравнение плоскости, проходящей через точку А перпендикулярно данной прямой x-3+y-2+2(z+1) = 0, x+y+2z-5=0. Найдем точку пересечения прямой и плоскости – это и будет проекция точки А, для этого перепишем уравнение прямой в параметрическом виде x=2+t, y=-3+t, z=2t, подставим в уравнение плоскости 2+t-3+t+2×2t-5=0, t = Получаемx=2+1=3,

y=- 3+1=- 2, z=2.

Ответ: (3;-2;2)

Задача 13

Найти проекцию прямой на плоскостьx+2y+3z+4=0.²⁴

Решение:

Так как проекция лежит в данной плоскости, то x+2y+3z+4=0 есть одно из уравнений проекции. Второе уравнение будет уравнением проектирующей плоскости, которая проходит через данную прямую, значит проходит через точку (3;-1;1) и компланарна вектору . Так как проектирующая плоскость перпендикулярна плоскостиx+2y+3z+4=0, значит нормальный вектор будет направляющим для этой плоскости. Итак,

уравнение проектирующей плоскости =0 или

Ответ:

Задача 14

Выяснить взаимное расположение прямой, заданной точкой   и направляющим вектором (3;-2;4), и плоскости 2x-3y-3z+12=0.²⁵

Решение:

Вытащим вектор нормали плоскости: (2;-3;-3). Вычислим скалярное произведение вектора нормали плоскости и направляющего вектора прямой: ·= 2·2-3·(-2)-3·4=6+66-12=0, значит, прямая либо параллельна плоскости, либо лежит в ней.

Подставим координаты точки в уравнение плоскости:

2·0-3·5-3·(-1)=12=0

2·0-3·5-3·(-1)+12=0

0-15+3+12=0

0=0

Получено верное равенство, следовательно, точка  лежит в данной плоскости. Разумеется, и любая точка прямой тоже будет принадлежать плоскости.

Ответ: прямая лежит в плоскости.

Заключение

В данной курсовой работе было рассмотрено и изучено взаимное расположение прямых в пространстве, взаимное расположение прямой и плоскости. На основе изложенного материала, была рассмотрена и решена практическая часть курсовой работы: были приведены и решены конкретные задачи по теме: «Взаимное расположение прямых в пространстве. Взаимное расположение прямой и плоскости».

Конструктивные задачи трехмерного пространства требуют как формально-логического подхода при их решении, так и знания проекционного чертежа (параллельного проектирования и его свойств). В процессе решения задач я применила пространственные представления, конструктивные навыки, в частности навыки изображения фигур на плоскости, навыки выполнения рисунков, их правильного восприятия и чтения.

Цели и задачи, поставленные в данной курсовой работе, были мною выполнены.