Глава I. Основные понятия

1.1 Основные определения

Что нам известно о прямых? Что на чертеже мы можем изобразить лишь часть прямой, а всю прямую мы представляем себе простирающейся бесконечно в обе стороны.

В курсе элементарной геометрии не дается определения прямой, так, как прямая является основным, неопределяемым геометрическим объектом. Основные свойства прямой задаются аксиомами, а остальные выводятся из аксиом логическим путем. Однако, пользуясь понятием коллинеарности векторов, можно определить геометрическое место всех точек, принадлежащих прямой. В самом деле, если М₀ – произвольная точка прямой l, а p – ненулевой вектор, параллельный ей, то, очевидно, каждая точка M прямой характеризуется условием: вектор M₀M коллинеарен p. Обратно, если вектор M₀M коллинеарен p, то точка M принадлежит прямой l. Таким образом, точка M принадлежит прямой l тогда и только тогда, когда вектор M₀M коллинеарен p. Это определение может быть использовано для того, чтобы написать уравнение геометрического места точек, принадлежащих прямой, или коротко уравнение прямой. В аналитической геометрии термин «прямая» понимается в смысле совокупности всех точек, принадлежащих некоторой прямой, «уравнение прямой» понимается в смысле уравнения геометрического места этих точек.¹

(Плоскость - одно из основных понятий геометрии. При систематическом изложении геометрии понятие "П." обычно принимается за одно из исходных понятий, которое лишь косвенным образом определяется аксиомами геометрии. Некоторые характеристические свойства П.: 1) П. есть поверхность, содержащая полностью каждую прямую, соединяющую любые её точки. 2) П. есть множество точек, равноотстоящих от двух заданных точек².

Пространство в математике, логически мыслимая форма (или структура), служащая средой, в которой осуществляются другие формы и те или иные конструкции. Например, в элементарной геометрии плоскость или пространство служат средой, где строятся разнообразные фигуры. В большинстве случаев в П. фиксируются отношения, сходные по формальным свойствам с обычными пространственными отношениями (расстояние между точками, равенство фигур и др.), так что о таких П. можно сказать, что они представляют логически мыслимые пространственно-подобные формы.

1.2 Различные способы задания прямой на плоскости

Сейчас я перечислю основные способы, которыми можно задать конкретную прямую на плоскости. Это знание очень полезно с практической точки зрения, так как на нем основывается решение очень многих примеров и задач. Уравнение прямой линии на плоскости в заданном на ней аффинном или ортонормированном репере в зависимости от способа задания может принимать различные виды.³

А) Прямая l задана начальной точкой М₀(;и направляющим вектором=():

– параметрические уравнения (t – параметр);

=0, (если– канонические уравнения.

Б) Прямая l задана двумя различными точками :

=0 или =(если).

В) Прямая l задана величинами a и b направленных отрезков, отсекаемых ею на осях Ox и Oy: ⁴

+=1 - уравнение прямой «в отрезках».

Г) Прямая l задана начальной точкой () и угловым коэффициентомk:

y-

y=kx+b (здесь

y=kx (здесь

Д) Прямая l задана начальной точкой :

Последнее уравнение может быть использовано только для случая, когда заданный репер является ортонормированным.

Каждое из указанных выше уравнений можно привести к следующему виду:

Ax+By+C=0 (1)

Уравнение (1) называется общим уравнением прямой.

Из этого уравнения можно определить координаты двух векторов этой прямой: направляющего (||l) и нормального вектора (l):