Решение:

Обозначим через подмножество всех верхних треугольных матриц. Это подмножество не пусто, так как содержит, например,нулевую матрицу порядка. Пусть— произвольные верхние треугольные матрицы порядка. Это значит, что их элементыдля. Тогда все элементы матрицыс равны нулю для любых Значит,

. Мы получили, что подмножество всех верхних треугольных матриц является подпространством линейного пространства . Аналогично, нетрудно показать, что подмножество всех нижних треугольных матриц является подпространством линейного пространства.

Задача 2

Для каждого из следующих множеств геометрических векторов определить, будет ли это множество линейным подпространством пространства :¹³

1) радиус-векторы точек данной плоскости;

2) векторы, образующие с данным ненулевым вектором угол;

3) множество векторов, удовлетворяющих условию .

Решение:

По определению подмножество элементов линейного пространстваназывается подпространством пространства, если выполнены два условия:

1)

Проверим выполнение этих условий в каждом случае:

1. Множество радиус-векторов точек плоскости (то есть векторов с началом в начале координат и концом в искомой точке) является линейным подпространством пространства , так как выполнены оба условия определения.

Действительно, сумма двух векторов с началом в начале координат есть вектор с началом в начале координат, то есть радиус-вектор некоторой точки (правило параллелограмма сложения векторов, см. рисунок 1). Произведение вектора на число дает вектор с началом в той же точке, но растянутый/сжатый в некоторое число раз, то есть тоже радиус-вектор некоторой точки.

Рис. 1.

2. Множество векторов, образующих с данным ненулевым вектором угол α не является линейным подпространством пространства, так как невыполнено первое условие определения. Действительно, можно найти такие два вектораи, образующие с данным ненулевым векторомугол α, что их суммане будет образовывать с векторомугол α (см. рисунок 2).

Рис. 2

3. Множество векторов, удовлетворяющих условию не является линейным подпространством пространства, так как не выполнено второе условие определения. Действительно, если умножить любой вектор, такой чтона любое число, то получим новый вектор, длина которого

.

Задача 3

Найдите ранг и базис набора векторов .¹⁴

Решение:

Выпишем матрицу и решим её методом Жордана-Гаусса:

Видим, что (строчек две ).Так как дана линейная оболочка, то :

Итак, в базисе 2 вектора, так как dim(A) = 2. Мы должны выбрать 2 линейно-независимых вектора, которые входят в данное линейное подпространство. Для двух векторов линейная зависимость означает пропорциональность. Значит, выберем 2 непропорциональных вектора. Это, например, .

Выпишем фундаментальный набор решений:

базисные переменные

свободные переменные

Получили базис: )

Ответ: ; )базис.

Задача 4

Пусть множество многочленов степени не выше, удовлетворяющих условию. Доказать, что линейное подпространство в пространстве. Найти его базис и размерность. Дополнить базис подпространства до базиса всего пространства.¹⁵