- •Вопрос 1. Определение первообразной и её свойства
- •Вопрос 5.
- •Вопрос 6. Основные свойства определенного интеграла
- •Формула Ньютона – Лейбница
- •Замена переменной в определенном интеграле
- •Формула интегрирования по частям в определенном интеграле
- •Вопрос 7. Приближённое вычисление определённых интегралов
- •Вопрос 8.
- •Вопрос 9.
- •Теорема существования единственного решения - ??
- •Вопрос 10.
- •Вопрос 11.
- •Вопрос 13.
- •Вопрос 12. -?? Вопрос 14.
- •Вопрос 15.
Вопрос 9.
Дифференциа́льное уравне́ние — уравнение, связывающее значение производной функции с самой функцией, значениями независимой переменной, числами (параметрами). Порядок входящих в уравнение производных может быть различен (формально он ничем не ограничен). Производные, функции, независимые переменные и параметры могут входить в уравнение в различных комбинациях или все, кроме хотя бы одной производной, отсутствовать вовсе. Дифференциальное уравнение порядка выше первого можно преобразовать в систему уравнений первого порядка, в которой число уравнений равно порядку исходного уравнения.
Теорема существования единственного решения - ??
Вопрос 10.
Уравнением с разделенными переменными называется дифференциальное уравнение вида
f(x)dx + g(y)dy = 0
с непрерывными функциями f(х) и g(y).
Равенство
где C — произвольная постоянная, определяет общий интеграл уравнения с разделёнными переменными.
Начальное условие для уравнения f(x)dx + g(y)dy = 0 можно задавать в виде y(x0) = y0 или в виде x(y0) = x0 .
Уравнением с разделяющимися переменными называется дифференциальное уравнение вида
f1(x)g1 (y)dx + f2(x) g2(y)dy =0 .
Функции f1(x), g1(y), f2(x), g2(y) непрерывны в cвоих областях определения и g1(y)f2(x) ≠ 0 .
Разделив обе части уравнения на отличное от нуля произведение g1(y)f2(x), получим уравнение с разделенными переменными
Общий интеграл этого уравнения имеет вид
Вопрос 11.
Линейные дифференциальные уравнения первого порядка |
|
Определение линейного уравнения первого порядка Дифференциальное уравнение вида
где a(x) иb(x) − непрерывные функцииx, называтсялинейным неоднородным дифференциальным уравнением первого порядка. Мы рассмотрим два метода решения указанных уравнений:
Использование интегрирующего множителя Если линейное дифференциальное уравнение записано в стандартной форме:
то интегрирующий множитель определяется формулой:
Умножение левой части уравнения на интегрирующий множитель u(x) преобразует ее в производную произведенияy(x)u(x). Общее решение дифференциального уравнения выражается в виде:
где C− произвольная постоянная. |
Решить уравнение y' − y − xex = 0.
Решение.
Запишем данное уравнение в стандартной форме:
Будем решать это уравнение, используя интегрирующий множитель:
Тогда общее решение линейного дифференциального уравнения определяется выражением:
Уравнение Бернулли |
|
Уравнение Бернуллиявляется одним из наиболее известныхнелинейных дифференциальных уравнений первого порядка. Оно записывается в виде
где a(x) иb(x) − непрерывные функции. Еслиm= 0, то уравнение Бернулли становитсялинейным дифференциальным уравнением. В случае когдаm= 1, уравнение преобразуется вуравнение с разделяющимися переменными. В общем случае, когдаm≠ 0, 1, уравнение Бернулли сводится к линейному дифференциальному уравнению с помощью подстановки
Новое дифференциальное уравнение для функции z(x) имеет вид
и может быть решено способами, описанными на странице Линейные дифференциальные уравнения первого порядка. |
Пример 1 |
|
Найти общее решение уравнения y' − y = y2ex. Решение. Для заданного уравнения Бернулли m= 2, поэтому сделаем подстановку
Дифференцируя обе части уравнения (переменная yпри этом рассматривается как сложная функцияx), можно записать:
Разделим обе части исходного дифференциального уравнения на y2:
Подставляя zиz', находим:
Мы получили линейное уравнение для функции z(x). Решим его с помощью интегрирующего множителя:
Общее решение линейного уравнения выражается формулой
Возвращаясь к функции y(x), получаем ответ в неявной форме:
который можно записать также в виде:
Заметим, что при делении уравнения на y2мы потеряли решениеy= 0. В результате, полный ответ записывается в виде:
|